MATLAB之牛顿下山法

算法原理

上一篇博客，我介绍了牛顿法迭代法，接下来我就们接着讲解一下什么是牛顿下山法。
一、迭代公式
在牛顿迭代过程中，若满足单调性|f(x(k+1))|<|f(x(k))|，
则称牛顿法为牛顿下山法。迭代过程为：

其中参数 ,称其为下山因子。
它改进了牛顿法对初值的依赖性，当所选初值不合适时（不满足单调性|f(x(k+1))|<|f(x(k))|），可以通过缩小下山因子，减小下一个点x(k+1)与x(k)的距离（缩小步长），若不合适则继续缩小。
下山因子 可用逐步搜索法确定，即先令下山因子=1，判断单
调性是否成立，若不成立将缩小1/2，直到单调性满足为止。
其他步骤与牛顿法相同，牛顿下山法为牛顿法的改进。

matlab程序

```bash
clc
clear
syms x
h=x.^3+x.^2-1;
fplot(h);
x0=NW(h,1,100);
function result=NW(h,x,n)
f=matlabFunction(h);
f1=matlabFunction(diff(h));
X(1)=x;
i=2;
r=1;
while 1
    X(i)=X(i-1)-r*f(X(i-1))/f1(X(i-1));
    if abs(f(X(i))) <1e-6 %牛顿法流程
         result=X(i);
         return;
    end
    if abs(f(X(i)))n
        result=X(i);
        return;
    end
    i=i+1;
end
end