SAR成像基础知识急救箱（零）关于傅里叶变换的几个小困惑

首先需要明确傅里叶级数和傅里叶变换的差异。
前者是针对周期函数的傅里叶展开级数，有三种形式（当然，它们是等价的），可以通过三角函数公式和欧拉公式相互转换。关于傅里叶级数网上有个形象化的解释：给出一道菜（函数），分析出其包含的食材的种类（频率）和数量（振幅）。并且再一次把分析出来的结果堆在一起还是原来的那个味道。
傅里叶变换是因为非周期函数而提出的，分为傅里叶正变换和反变换，注意傅里叶变换对的意义。但是后来也扩展到了周期函数。
另外最近看到一个说法觉得耳目一新：傅里叶级数展开的系数不过是各分量正交情况下的最小二乘解。说的是大实话，不过我以前就没能把它和最小二乘联系起来。那些年的高数都白学了。

1 复数

不要觉得复数很奇怪，他的涵义是“旋转”。它跟实数世界沟通的桥梁是欧拉公式，这里这是形式的转换，可以认为欧拉公式是一个穿越门，一个实数世界的三角函数穿过这个门之后就变成了复数世界的一员。仔细想想，三角函数本身表示的就是旋转在垂直轴上的投影呢，这也就是三角函数和复数可以沟通的原因。
这就是欧拉公式：

e jnω =cos(nω)+jsin(nω) 

据此有：

cos(nω)=e jnω +e −jnω 2  

sin(nω)=e jnω −e −jnω 2j  

前面也说了，傅里叶级数有三种形式(当然如果利用欧拉公式和三角函数公式进行转换，傅里叶变换也是有三种形式的)：

f(t) =a 0 +∑ n=1 +∞ [a n cos(nω 1 t)+b n sin(nω 1 t)]=c 0 +∑ n=1 +∞ [c n cos(nω 1 t+φ n )]=d 0 +∑ n=1 +∞ [d n sin(nω 1 t+θ n )]=∑ −∞ +∞ F(nω 1 )e −jnω 1 t   

其中：最后一种形式的求和范围变了，奇怪地出现了负频率这个慕名奇妙的概念，这里只数学转换中的trick，也是欧拉公式搞的鬼，稍微试着推推公式，真相就会大白。也正是这个原因，复数形式的频谱幅度会会是其他形式的一半，因为它同时包含正负半轴，而能量需要守恒。

2 傅里叶变换

2.1 公式

非周期信号可以看成是周期无限大的信号，经过一些求极限等推导，得到了傅里叶变换对：

F(ω)=∫ +∞ −∞ f(t)e −jωt dt 

f(t)=12π ∫ +∞ −∞ F(ω)e jωt dω 

对应的也有频谱图，但是注意各角频率的间隔会无限小，最后幅度不再表示频谱，而是频谱密度函数。
下图为矩形脉冲的图形及其对应的频谱：

由上图可知，虽然矩形脉冲在时域集中于有限的范围内，然而它的频谱却以采样函数的形式变化，分布在无限的频率范围，但其主要频率分量几种在有限范围内 B∼1τ   。这样的极端情况是：直流信号的傅里叶变换是冲激函数；冲激函数的傅里叶变换是“均匀谱”。

2.2 SAR成像中用到的傅里叶变换性质

若 f(t)↔F(ω)  ，

• 则 f ∗ (−t)↔F ∗ (ω)  这在匹配滤波器实现中用到了。

• 则 f(at)↔1∣a∣ F(ωa )  这是尺度变换特性，可以这样理解：信号的波形压缩 a  倍 a>1  ，信号的变化将会变快 a  倍，所以它包含的频率分量增加 a  倍，也就是所频谱展宽 a  倍，根据能量守恒，各频率分量的大小必然减小 a  倍。另外一个角度需要用到简单的推导，最终会得到 B=2πτ   ，其中 τ,B  分别表示信号的等效时宽和带宽。这说明若要压缩信号持续的时间（这正是提高SAR的距离向分辨率需要做到的），则不得不以展宽频带做代价。

• 则 f(t+t 0 )↔e jωt 0  F(ω)  这是时移特性，涵义是信号在时域的延迟或者提前仅对应频域的相位变化。

• 另外就是卷积定理了，即时域的乘积对应频域的卷积；时域的卷积对应频域的乘积。

• 最后稍微提一下这个特性：信号的时域和频域呈抽样（离散）和周期（重复）对应关系。也就是信号在时域的抽样对应着频域的重复，重复周期对应抽样间隔 ω s =2πT s    ；信号在频域的抽样对应时域的重复（周期），周期对应抽样间隔 T 1 =2πω 1   

3 相位

在InSAR里面相位是个非常重要的概念，然而相位这个东西并不太直观。如果从数学的角度去框住它，也许就不会再困扰我们啦。
无论是傅里叶级数展开还是傅里叶变换，无论是离散还是连续，转换到频率域之后都会对应频率及其对应的振幅和相位。假设说某一频率对应的系数是 a+bj  ，那么该频率对应的振幅即是这个复数的大小，相位即是这个复数的角度。如果你知道复平面这个东西，剩下的分析都是小儿科啦：

• 振幅： (a 2 +b 2 ) − − − − − − −  √  
• 相位： ϕ=  ,具体地，
  
  ϕ=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ π2 −π2 0πarctan(ba )  for a=0 for a=0 for b=0 for b=0otherwise b>0b<0a>0a<0  

4 还没有明白的困惑

连续只存在于数学中吧？现实里面有什么是连续的吗？光似乎都不是连续的，时间是连续的吗？至少当我们来用电脑去处理数据的时候，全部是采样之后的离散数据，那么也就是说其实我们用到的只是离散傅里叶变换，连续情况只是充当了理论推导的工具。

书上的解释说正是因为这样离散傅里叶变换和FFT的意义才显得那样巨大。后面去学习一下离散傅里叶变换和FFT。

突然发现自己写的东西估计也只能给自己看了，并不会吸引人。因为没有趣，而且知识也没有循序渐进，所有的说明解释都是建立的自己的理解之上的，并默认读者已经读了跟自己一样的书，有了同样的理解，重点部分也只是自己没有理解的部分。先这样吧，详尽有趣而又不失准确性地科普不是我这个阶段应该做的事。等到后面自己爬得高了，理解的东西多了，也许可以回过头来写些东西。

自己在学习的时候主要参考了郑君里的教材，觉得写得还是挺形象的，有很多图形和例子。估计对于被动的学习者来说再好的教材也是对牛弹琴，试图通过一本好书来代替自己的思考是一种深刻的愚昧。

5 关于fft的一些网站和好的帖子

http://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/