卡尔曼滤波MATLAB代码实现

没有大量的公式推导，个人感觉也没有必要，我们从小推导过很多公式，试着想想我们还能回忆起几个？个人认为只需要记住公式的用法，作用，知道有这个公式就可以。用的时候我们可以随时去查。所以楼主参考网上资料结合一个小例子整理出卡尔曼滤波的MATLAB代码实现。看懂这些代码我们需要对卡尔曼滤波算法有基本的理解。大致的理解就是卡尔曼滤波算法通过两个量对系统进行最优估计，而这两个量应该占多大的权重，这就是卡尔曼滤波的核心所在。卡尔曼滤波通过不断迭代（这也是为什么卡尔曼滤波这么多人研究的原因，计算机最会干的事情就是迭代）计算出最佳的权重比。从而对系统进行最优估计。

这个例子就是被网上举例举烂了的房间温度预测案列。

假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。
由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23 度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance（协方差）来判断。因为 Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。
现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入 k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56 度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入 k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。
就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把 covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。

我们理解了这个例子之后也不需要进行公示推导，我们只需要记住卡尔曼滤波的五个关键步骤即可。

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1))

下面对应的上边那个房间温度预测的MATLAB代码

x(k) = x(k - 1);%预估计k时刻状态变量的值
p = p + Q;%对应于预估值的协方差
kg = p / (p + R);%卡尔曼增益
x(k) = x(k) + kg * (y(k) - x(k));
p = (1 - kg) * p;

clear
clc;
N=300;
CON = 25;%房间温度，假定温度是恒定的
%%%%%%%%%%%%%%%kalman filter%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x = zeros(1,N);
y = 2^0.5 * randn(1,N) + CON;%加过程噪声的状态输出

x(1) = 1;
p = 10;

Q = cov(randn(1,N));%过程噪声协方差
R = cov(randn(1,N));%观测噪声协方差
for k = 2 : N
x(k) = x(k - 1);%预估计k时刻状态变量的值
p = p + Q;%对应于预估值的协方差
kg = p / (p + R);%kalman gain
x(k) = x(k) + kg * (y(k) - x(k));
p = (1 - kg) * p;
end


%%%%%%%%%%这一部分是对卡曼滤波算法的改进，通过加窗进行平滑处理%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Filter_Wid = 10;
smooth_res = zeros(1,N);
for i = Filter_Wid + 1 : N
tempsum = 0;
for j = i - Filter_Wid : i - 1
tempsum = tempsum + y(j);
end
smooth_res(i) = tempsum / Filter_Wid;
end
% figure(1);
% hist(y);
t=1:N;
figure(1);
expValue = zeros(1,N);
for i = 1: N
expValue(i) = CON;
end
plot(t,expValue,'r',t,x,'g',t,y,'b',t,smooth_res,'k');
legend('expected','estimate','measure','smooth result');
axis([0 N 20 30])
xlabel('Sample time');
ylabel('Room Temperature');
title('Smooth filter VS kalman filter');