卡特兰数学习笔记

一、简介

卡特兰数数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列，其前几项为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, …

二、原理

令h(0) = 1,h(1) = 1,catalan数满足递推式：
$$h(n)=h(0)\ast h(n-1)+h(1)\ast h(n-2)+\dots +h(n-1)\ast h(0)(n>=2)$$
例如：
h(2) = h(0)*h(1)+h(1)*h(0) = 2

公式1（通项公式）：

$$Catala{n}_n=\frac{1}{n+1}C(n,2n)$$
也就是：

h(n) = $\frac{1}{n+1}$ * $\frac{(2n)!}{n!n!}$

公式2（递推公式）

$$Catala{n}_{n+1}=\frac{4n+2}{n+2}Catala{n}_n$$

三、应用

1、出栈次序：

  一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
分析
如果有 n 个元素，在平面直角坐标系中用 x 坐标表示入栈数，y 坐标表示出栈数，则坐标 (a,b) 表示目前已经进行了 a 次入栈和 b 次出栈
那么由 (a,b) 走到 (a+1,b)，就意味着又进行一次入栈
那么由 (a,b) 走到 (a,b+1)，就意味着有进行一次出栈
又因为入栈数<=出栈数，所以路径图一定不在直线 y=x下面

因此，题目相当于求从 (0,0) 走到 (n,n) 且不跨越直线 y=x 的方案数

首先，从 (0,0) 走到 (n,n)，相当于从 2n 次操作中选 n 次进行入栈，则方案数为 C(n,2n)
然后，考虑对于某种不合法的方案，一定在若干次操作后有一次入栈数比出栈数多一次，则最终到达的点是(n-1,n+1)。
也就是说，非法的方案数就是从 (0,0) 走到 (n-1,n+1) 的方案数，C(n+1,2n)。
那么，合法的方案数：C(n,2n) - C(n-1,n+1)，化简就得到Catalan_n
不化简了，背过就行了

类似问题，买票找零
  有 2n 个人拍成一行进入动物园，动物园的门票为5元。其中只有 n 个人有一张 5 元钞票，另外 n 人只有 10 元钞票，动物园无其他钞票，问有多少种方法使得只要有 10 元的人买票，售票处就有 5 元的钞票找零？（将持有 5 元钞票的游客买票看作 5 元入栈，持 10 元钞票的人买票看作 5 元出栈）

2、括号化

 &esmp;矩阵链乘：P = a₁ × a₂ ×…×a_n，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案：

h(n-1) 种方案

3、凸多边形三角划分

  在一个凸多边形种，动过若干条不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。那么假设凸多边形的边数是 n，求划分的方案数。

方案数：h(n-2)

4、给定节点组成二叉树

  给定 n 个节点，能构成多少种不同的二叉树？

能构成 h(n) 个

5、排队问题

  2n个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种?

排列方式 h(n) 种

6、其他

参考：从《编程之美》买票找零问题说起，娓娓道来卡特兰数——兼爬坑指南

4、拓展

对于在 n 位的 2 进制中，有 m 个 0，其余为 1 的 Catalan 数为：C(n,m) - C(n,m-1)。