动态规划-------一个简单爬梯子问题

问题描述

一个楼梯有20级，每次走1级或两级，请问从底走到顶一共有多少种走法？

 

分析：假设从底走到第n级的走法有f（n）种，走到第ｎ级有两个方法，一个是从（n-1)级走一步，另一个是从第（ｎ－２）级走两步，前者有f(n-1)种方法，后者有f(n-2)种方法，所以有f(n)=f(n-1)+f(n-2),还有f(0)=1,f(1)=1.

递归编程实现

程序１

#include

int f(int n)

{

    if(n==0 || n==1) return 1;

   else return f(n-1)+f(n-2);

}

int main()

{

     printf("%d/n",f(20));

    return 0;

}

现在来说说动态规划的基本思想

动态规划的关键是发现子问题和怎么记录子问题，以上面的例子说明

（１）对子问题可递归的求解，当n>1时，f(n)=f(n-1)+f(n-2);否则，f(1)=f(0)=1;

(2)这些子问题是有重叠的，即求解某个问题时，某些子问题可能需要求解多次。例如求解f(5)时，f(2)就被求解了３次。

在上面两个条件下，用动态规划的方式来求解会高效很多。就是把子问题记录下来，每个子问题只求解一次，从而提高了效率。

程序２

#include
int result[100];
int f(int n)
{
 　int res;
 　if(result[n]>=0) return result[n];
 　if(n==0 || n==1) res=1;
 　else res=f(n-1)+f(n-2);
 　result[n]=res;
 　return res;
}
int main()
{
 　int i;
 　for(i=0;i<=20;i++)
  　　result[i]=-1;
 　printf("%d/n",f(20));
 　return 0;
}

程序３

#include
int f[100];
int main()
{
 　int i;
 　f[0]=1;
　 f[1]=1;
 　for(i=2;i<=20;i++)
  　　f[i]=f[i-1]+f[i-2];
 　printf("%d",f[20]);
 　return 0;
}

程序３是否让你想起了那个兔子繁殖的问题呢？

小结一下

动态规划，采用分治的策略，把求最优解问题分解为求若干子问题的最优解，记录子问题的解，化繁为简，很实用，也很高效。