洲阁筛
定义非完全积性函数F(x)
我们现在要做的事情是求：
∑x=1nF(x)
还要满足的是： F(pc) 是与p相关的 低阶多项式
考虑将每个x的质因数分成小于等于 n√ 和大于 n√ 两部分：
∑x=1nF(x)=∑1≤i≤ni没有大于n√的质因数F(i)⎛⎝⎜⎜⎜1+∑n√<j≤⌊ni⌋j是质数F(j)⎞⎠⎟⎟⎟
注意到当 i>n√ 时后面部分的贡献是1，所以要处理的东西有两部分：
∑1≤i≤n√∑n√<j≤⌊ni⌋j是质数F(j)
和
∑n√<i≤ni没有大于n√的质因数F(i)
先解决前面的部分：
设 gk(i,j) 表示[1,j]内与前i个质数互质的数的k次方和：
那么有转移：
gk(i,j)=gk(i−1,j)−pik×gk(i−1,⌊jpi⌋)
考虑 gk(i,j) ，当 pi+1>j 时 gk(i,j) 的值为1，即当 pi > ⌊jpi⌋ 时，后面的贡献为 pik
就是说，每次处理 gk(i,j) 的时候，从小到大枚举i，如果当前的 pi2>j ，就直接跳出，而调用这个位置之后的g时就直接预处理一下质数的k次方前缀和
由于n以内的质数密度是 O(1logn) 的，j的取值只有 n√ 种
所以复杂度是这样分析的：
∑n√i=1(ni−−√+i√)logn
分子的部分为：
∫n√0x12dx=23(n12)32=23n34
和
∫n√0nx−−√dx=n12∫n√0x−12dx=n12×2(n12)12=2n34
所以这部分的时间复杂度是 O⎛⎝n34logn⎞⎠
接着考虑处理后面的部分，回顾一下：
∑n√<i≤ni没有大于n√的质因数F(i)
设 f(i,j) 表示[1,j]中 仅包含小于等于 n√ 的后i个质数的数的F(x)的和
那么有转移：
f(i,j)=f(i−1,j)+∑c≥1F(pic)⋅f(i−1,⌊jpic⌋)
对于 f(i,j) ，当 pi>j 时f(i,j)=F(1)=1，就是说后面的部分当 pi2>j 时后面的贡献是 F(pi)
然后就类似前面计算g，一样做就好了
这部分的复杂度跟前面类似
撒花
代码：
待填坑
#includeint >mp;
int lim[N];
LL add(LL x,LL y){
return x+y>=mo?x+y-mo:x+y;
}
LL del(LL x,LL y){
return x>=y?x-y:x+mo-y;
}
void prepare(){
for(LL i=1;i<=n;i=n/(n/i)+1)val[++m]=n/i;
qt=sqrt(n);
F[1]=1;
fo(i,2,qt){
if (!F[i]){
pri[1][++k]=i;
F[i]=i-1;
}
fo(j,1,k){
if (i*pri[1][j]>qt)break;
if (i%pri[1][j]==0){
F[i*pri[1][j]]=F[i]*pri[1][j]%mo;
break;
}
F[i*pri[1][j]]=F[i]*(pri[1][j]-1)%mo;
}
}
fo(i,1,m/2)swap(val[i],val[m-i+1]);
fo(i,1,k){
LL cnt=1;
fo(j,0,K){
pri[j][i]=cnt;
pre[j][i]=add(pre[j][i-1],cnt);
cnt=cnt*pri[1][i]%mo;
}
}
s=0;
fo(i,1,m){
lim[i]=lim[i-1];
while(lim[i]1][lim[i]+1]<=val[i])lim[i]++;
mp[val[i]]=i;
st[i]=s+1;
id[i]=k;
fo(j,1,k)
if (1ll*pri[1][j]*pri[1][j]>val[i]){id[i]=j-1;break;}
s+=id[i]+1;
tr[st[i]]=i;
fo(j,1,id[i])tr[st[i]+j]=mp[val[i]/pri[1][j]];
}
//----------------------
a[0]=mo-1;
a[1]=1;
}
LL getf(int i,int j){
if (j>lim[i])return 1;
if (j>id[i])return (((pre[1][lim[i]]+mo-pre[1][j-1])%mo+mo-(lim[i]-j+1))%mo+1)%mo;
return f[st[i]+j];
}
LL solve(){
//calc g
fo(i,1,m){
//----------------
g[0][st[i]]=val[i]%mo;
if (val[i]%2)g[1][st[i]]=(val[i]+1)/2%mo*(val[i]%mo)%mo;
else g[1][st[i]]=val[i]/2%mo*(val[i]%mo+1)%mo;
int u=i;
fo(j,1,id[i]){
while(val[u]>val[i]/pri[1][j])u--;
if (j-1<=id[u])
fo(x,0,K)
g[x][st[i]+j]=del(g[x][st[i]+j-1],pri[x][j]*g[x][st[u]+j-1]);
else
fo(x,0,K)
g[x][st[i]+j]=del(g[x][st[i]+j-1],pri[x][j]*(del(g[x][st[u]+id[u]],del(pre[x][j-1],pre[x][id[u]]))));
}
}
int u=m;
LL ans=0;
fo(i,1,qt){
while(val[u]>n/i)u--;
fo(x,0,K){
LL tmp=del(g[x][st[u]+id[u]],add(del(pre[x][k],pre[x][id[u]]),1));
ans=(ans+(tmp*a[x]%mo)*F[i]%mo)%mo;
}
//ans=add(ans,F[i]);
}
fo(i,1,m){
LL cnt=del(del(pre[1][lim[i]],pre[1][id[i]]),(lim[i]-id[i]))+1;
fd(j,id[i],1){
LL x=val[i];
LL tmp=pri[1][j]-1;
if (j==id[i])f[st[i]+j]=cnt;
else f[st[i]+j]=f[st[i]+j+1];
for(int now=i;x>=pri[1][j];){
if (x>=pri[1][j]*pri[1][j]){
now=tr[st[now]+j];
f[st[i]+j]=add(f[st[i]+j],tmp*getf(now,j+1)%mo);
}
else f[st[i]+j]=add(f[st[i]+j],tmp);
x=x/pri[1][j];
tmp=tmp*pri[1][j]%mo;
}
}
}
ans=add(ans,f[st[m]+1]);
return ans;
}
int main(){
freopen("data.in","r",stdin);
scanf("%lld",&n);
prepare();
LL ans=solve();
printf("%lld\n",ans);
return 0;
} 不知道为什么跑不过10^10….要找张贡提升一下知识水平啦2333