机器学习——分类算法之决策树

前言

主要涉及ID3决策树、C4.5决策树、CART决策树、决策树的剪枝、连续值和缺失值的处理。

决策树是基于树结构来进行决策的，一般的一颗决策树包含一个根结点、若干个内部结点和若干个叶结点。叶结点对应于决策结果，其他每个结点则对应于一个属性测试，每个结点包含的样本集合根据属性测试的结果被划分到子结点中，根结点包含样本全集。

决策树的工作原理和我们平时做决定时所采用的的机制是很相似的，也就是根据一堆if、else规则来进行判断，不同的判断条件也就构成了不同的模型。

决策树的学习目的是为了产生一颗泛化能力强的决策树，为了达到此目的，最重要的环节包括属性的划分、决策树的剪枝。

属性划分的要求、目标：希望决策树的分支结点点所包含的样本尽可能属于同一类别，即结点的纯度越来越高。

那么基于上面的学习目标，产生了三种划分属性的度量指标：信息增益、增益率、基尼指数。

1、信息熵

“信息熵”(information entropy)是度量样本集合纯度最常用的一种指标，代表一个系统中蕴含多少信息量，信息量越大表明一个系统的不确定性就越大，就存在越多的可能性，即信息熵大。

下面开始推导ID3算法。

假定当前样本集合D中第k类样本所占的比例为$P_k(k=1,2,...,|y|)$，则D的信息熵为:
$$Ent(D)=-\sum _{k=1}^{|y|}{P}_{k}lo{g}_2{P}_k\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，|y|表示样本类别总数，$P_k$表示第k类样本所占的比例，且$0\le P_k\le 1,{\sum }_{k=1}^n{P}_k=1$，Ent(D)值越小，纯度越高。

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举例说明式(1):
假设当前数据集有5个样本$D=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}$，其标签为分别为{0,0,1,2,2}（三类,k=1,2,3），那么每一类所占比为$P_1=2/5,P_2=1/5,P_3=2/5$，则此时的信息熵为：
$$\begin{gathered} Ent(D)=-\sum _{k=1}^3{P}_{k}lo{g}_2{P}_k=-P_{1}lo{g}_2{P}_1-P_{2}lo{g}_2{P}_2-P_{3}lo{g}_2{P}_3 \\ =-\frac{2}{5}lo{g}_2\frac{2}{5}+-\frac{1}{5}lo{g}_2\frac{1}{5}+-\frac{2}{5}lo{g}_2\frac{2}{5} \end{gathered}$$
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上面说了“Ent(D)值越小，纯度越高”，那么这个程度该怎样量化呢？就是说什么样的样本可以说是程度高？什么样的样本可以说是纯度低？下面通过求解信息熵的最大值和最小值来说明这个问题。
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++证明信息熵的取值范围+++++++++++++++++++++++++
证明式:
$$0\le Ent(D)\le lo{g}_2|y|\text{\hspace{1em}(2)}$$

1、首先求Ent(D)的最大值：
若令$|y|=n,P_k=x_k$，那么信息熵Ent(D)就可以看做一个n元实值函数，也即：
$$Ent(D)=f(x_1,x_2,...,x_n)=-\sum _{k=1}^n{x}_{k}lo{g}_2{x}_k\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中，$0\le x_k\le 1,{\sum }_{k=1}^n{x}_k=1$

所以，此时若想求信息熵的最大值，等价于求n元实值函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$的最大值，也就是将原求信息熵的最大值转成了求多元实值函数求最值的问题，并且对于每一个$x_k$都要满足约束$0\le x_k\le 1,{\sum }_{k=1}^n{x}_k=1$，即求有约束的最大值问题。

如果不考虑约束$0\le x_k\le 1$，仅考虑${\sum }_{k=1}^n{x}_k=1$的话，对$f(x_1,x_2,...,x_n)$求最大值等价于如下最小化问题：
$$min\sum _{k=1}^n{x}_{k}lo{g}_2{x}_k\text{\hspace{1em}(4)}$$
$$s.t.\sum _{k=1}^n{x}_k=1\text{\hspace{1em}(5)}$$
很明显上面的目标函数（4）是凸函数(结合x的取值范围和目标函数的二阶导数恒大于0)，并且其约束条件(5）明显是线性函数，所以该问题就是凸优化问题。

显然，对于$0\le x_k\le 1$时，该问题为凸优化问题，而对于凸优化问题来说，满足KKT条件的点即为最优解。由于此最小化问题仅含等式约束，那么能另其拉格朗日函数的一阶偏导数等于0的点即为满足KKT条件的点。

由上面红色字体的分析，根据拉格朗日乘子法，该优化问题的拉格朗日函数为：
$$L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda )=\sum _{k=1}^n{x}_{k}lo{g}_2{x}_k+\lambda (\sum _{k=1}^n{x}_k-1)\text{\hspace{1em}(6)}$$
对上面拉格朗日函数分别关于$x_1,...,x_n,\lambda$求一阶偏导数，并令偏导数等于0

首先对$x_1$求偏导，并令其等于0：
$$\begin{gathered} \frac{\partial L(x_1,x_2,...,x_n)}{\partial x_1}=\frac{\partial }{\partial x_1}[\sum _{k=1}^n{x}_{k}lo{g}_2{x}_k+\lambda (\sum _{k=1}^n{x}_k-1)]=lo{g}_2{x}_1+x_{1\cdot \frac{1}{x_{1}ln2}}+\lambda \\ =lo{g}_2{x}_1+\cdot \frac{1}{ln2}+\lambda =0\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$
所以可得$\lambda$:
$$\lambda =-lo{g}_2{x}_1-\frac{1}{ln2}\text{\hspace{1em}(8)}$$

同理，当令剩下的$x_2,..x_n$的导数为0时，求出的$lambda$都类似于式(8)，这里就不一一求了，即：
$$\lambda =-lo{g}_2{x}_1-\frac{1}{ln2}=-lo{g}_2{x}_2-\frac{1}{ln2}=...=-lo{g}_2{x}_n-\frac{1}{ln2}\text{\hspace{1em}(9)}$$
然后对式(6)中的$\lambda$求偏导：
$$\frac{\partial L(x_1,x_2,...,x_n)}{\partial \lambda }=\frac{\partial }{\partial \lambda }[\sum _{k=1}^n{x}_{k}lo{g}_2{x}_k+\lambda (\sum _{k=1}^n{x}_k-1)]=0\text{\hspace{1em}(10)}$$
由式(10)可得：
$$\sum _{k=1}^n{x}_k=1\text{\hspace{1em}(11)}$$
所以根据式(9)和(11)可得该最小化问题的最优解：
$$x_1=x_2=...=x_n=\frac{1}{n}\text{\hspace{1em}(12)}$$
又因为$x_k$还需要满足约束$0\le x_k\le 1$，显然$0\le \frac{1}{n}\le 1$，所以$x_1=x_2=...=x_n$是满足所有约束的最优解，也即为当前最小化问题的最小值点，同时也是$f(x_1,x_2,...,x_n)的最大值点。$
将$x_1,x_2,...,x_n=\frac{1}{n}$带入$f(x_1,x_2,...,x_n)$中可得：
$$f(\frac{1}{n},...,\frac{1}{n})==\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}lo{g}_2\frac{1}{n}=-n\cdot \frac{1}{n}lo{g}_2\frac{1}{n}=lo{g}_{2}n\text{\hspace{1em}(13)}$$

证明完了信息熵的最大值，现在给出一个总结：
$f(x_1,x_2,...,x_n)$在满足约束$0\le x_k\le 1,{\sum }_{k=1}^n{x}_k=1$时的最大值为$lo{g}_{2}n$
关于信息熵的取值范围已经给出证明，当信息熵取值最大时，表明信息是最不纯的，那么最不纯的时候有什么表现呢，即当信息熵取值最大时，样本有什么样的表现呢？
我们知道$x_k$表示的就是第k类样本在集合中所占比例，观察式（12），当信息熵值最大时，$x_k$均相等，也即$P_k$均相等。也就是说，此时样本集合中的各类样本式均匀分布的，那么这时候样本集合的纯度就是最低的时候。


2、现在开始证明信息熵Ent(D)的最小值

如果不考虑约束${\sum }_{k=1}^n{x}_k=1$，仅考虑$0\le x_k\le 1$的话，由式(3)，可知$f(x_1,x_2,...,x_n)$可以看做是n个互不相关的一元函数的加和，也即：
$$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum _{k=1}^{n}g(x_k)\text{\hspace{1em}(14)}$$
其中，$g(x_k)=-{\sum }_{k=1}^n{x}_{k}lo{g}_2{x}_k,0\le x_k\le 1$。

那么当$g(x_1),g(x_2),,...,g(x_n)$分别取到其最小值时，$f(x_1,x_2,...,x_n)$也就取到了最小值。

由于$g(x_1),g(x_2),,...,g(x_n)$的定义域和函数表达式均相同，所以只需求出$g(x_1)$的最小值也就求出了$g(x_1),g(x_2),,...,g(x_n)$的最小值。

下面考虑求$g(x_1)$的最小值：
首先，对$g(x_1)$关于$x_1$求一阶和二阶导数：

$$g^{,}(x_1)=\frac{d(-x_{1}lo{g}_2{x}_1)}{d{x}_1}=-lo{g}_2{x}_1-x_1\cdot \frac{1}{x_{2}ln2}=-lo{g}_2{x}_1-\frac{1}{ln2}14)\text{\hspace{1em}(()}$$
$$g^{,,}(x_1)=\frac{d(g^{,}(x_1))}{d{x}_1}=\frac{d(-lo{g}_2{x}_1-\frac{1}{ln2})}{d{x}_1}=-\frac{1}{x_{1}ln2}\text{\hspace{1em}(15)}$$

显然，当$0\le x_k\le 1$时，所以$g(x_1)$的二阶导小于0，所以$g(x_1)$是一个在其定义域范围内开口向下的凹函数，那么其最小值必然在边界取，于是分别取$x_1=0和x_1=1$带入到$g(x_1)$可得：
$$\begin{gathered} g(0)=-0lo{g}_{2}0=0 \\ g(1)=-1lo{g}_{2}1=0\text{\hspace{1em}(16)} \end{gathered}$$

所以$g(x_1)$的最小值为0，同理可得$g(x_2),g(x_3),...,g(x_n)$的最小值也为0，那么$f(x_1,x_2,...,x_n)$的最小值此时也为0。

但是此时仅考虑$0\le x_k\le 1$时取到的最小值，若考虑约束${\sum }_{k=1}^n{x}_k=1$的话，那么$(x_1,x_2,...,x_n)$的最小值一定大于等于0。(此时两个约束都考虑) 如果令某个$x_k=1$，那么根据约束${\sum }_{k=1}^n{x}_k=1$可知$x_1=x_2=...=x_{k-1}=x_{k+1}=...=x_n=0$将其带入式(3)中可得：
$$f(0,0,...,0,1,0,...,0)=-0lo{g}_{2}0-0lo{g}_{2}0-...-0lo{g}_{2}0-1lo{g}_{2}1-0lo{g}_{2}0-,...,-0lo{g}_{2}0=0\text{\hspace{1em}(17)}$$

所以$x_k=1,x_1=x_2=...=x_{k-1}=x_{k+1}=...=x_n=0$一定是$f(x_1,x_2,...,f_n)$在满足约束$0\le x_k\le 1,{\sum }_{k=1}^n{x}_k=1$的条件下的最小值点，其最小值为0。

证明完了信息熵的最大值，现在给出一个总结： 当样本的信息熵等于0的时候，样本的纯度是最高的，那么纯度最高时样本有什么样的特性呢？ 由信息熵最小值的推导过程可知，当信息熵最小时，某个样本$x_{k}=1$，其他的等于0，而$x_{k}$表示得到就是$P_{k}$，这就说明该样本集合中仅仅只包含一类样本(k类)，那么很显然，这时候的纯度就是最高的

+++++++++++++++++信息熵的最大值、最小值证明完毕，以及最取最大值和最小值时样本的特征也已说明+++++++++

2、条件熵

什么是条件熵？
答：通俗地说，可以理解为 在知道一些已知条件下，计算出来的信息熵。

条件熵的定义：在已知样本属性a的取值情况下，度量样本集合纯度的一种指标

$$H(D|a)=\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)\text{\hspace{1em}(17)}$$

上式中关于各个变量一定要搞懂！其中，a表示样本的某个属性，假定属性a由V个可能的取值$\{a^1,a^2,...,a^V\}$，样本集合D中在属性a上取值为$a^v$的样本记为$D^v$，$Ent(D^v)$表示样本集合$D^v$的信息熵。$H(D|a)$值越小，纯度越高。

ID3算法

现在知道了信息熵和条件熵了，那么就可以定义ID3算法了。

ID3决策树是以信息增益为准则来划分属性的决策树。

信息增益：
$$Gain(D,a)=Ent(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)=Ent(D)-H(D|a)\text{\hspace{1em}(18)}$$
观察上式(18)，信息增益就等于信息熵减去条件熵，得出来的差值就表示样本集合纯度的提升度。为什么这么说？因为信息熵表示的是没有任何已知条件下，计算出来的样本的纯度；而条件熵是在知道一些一直条件下算出来的集合的纯度，那么他们的差值就表示：在知道一些已知条件情况下，纯度得到的提升。
选择信息增益值最大的属性作为划分属性，因为信息增益越大，则意味着使用该属性来进行划分所获得的“纯度提升”越大。


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下面举个具体例子来实现ID3算法（来自西瓜书）。
以下面的西瓜数据集来学习一棵没剥开的是不是好瓜的决策树，显然|y|=2。

观察上面数据集，其中“是好瓜”的视为正例，“不是好瓜”视为负例，其中正例占$p_1=\frac{8}{17}$，反例占$p_2=\frac{9}{17}$
于是根据式(1)可计算出根节点的信息熵：
$$Ent(D)=-\sum _{k=1}^2{p}_{k}lo{g}_2{p}_k=-(\frac{8}{17}lo{g}_2\frac{8}{17}+\frac{9}{17}lo{g}_2\frac{9}{17})=0.998$$
然后分别计算出当前属性集合{色泽，根蒂，敲声，纹理，脐部，触感}中每个属性的信息增益。
以"色泽"为例，它有3个可能的取值：{青绿，乌黑，浅白}，若使用该属性对D进行划分，则可得到3个子集，分别记为：$D^1(色泽=青绿)$，$D^2(色泽=乌黑)$，$D^3(色泽=浅白)$。
那么按照这三个子集，可将原数据集分成如下三个部分：子集$D^1$包含编号为{1,4,6,10,1317}的6个样例，其中正例占$p_1=\frac{3}{6}$，反例占$p_2=\frac{3}{6}$;$D^2$包含编号为{2,3,7,8,9,15}的6个样例，其中正、反例分别占$p_1=\frac{4}{6}，p_2=\frac{2}{6}$;$D^3$包含编号为{5,11，12,14,16}的五个样例，其中正、反例分别占$p_1=\frac{1}{5},p_2=\frac{4}{5}$。
计算用“色泽”划分之后所获得的3个分支节点的信息熵为：
$$Ent(D^1)=-(\frac{3}{6}lo{g}_2\frac{3}{6}+\frac{3}{6}lo{g}_2\frac{3}{6})=1.00$$
$$Ent(D^2)=-(\frac{4}{6}lo{g}_2\frac{4}{6}+\frac{2}{6}lo{g}_2\frac{2}{6})=0.918$$
$$Ent(D^3)=-(\frac{1}{5}lo{g}_2\frac{1}{5}+\frac{4}{5}lo{g}_2\frac{4}{5})=0.722$$
然后，根据式(18)可计算出属性“色泽”的信息增益为：
$$\begin{gathered} Gain(D,色泽)=Ent(D)-\sum _{v=1}^3\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v) \\ =0.998-(\frac{6}{17}\times Ent(D^1)+\frac{6}{17}\times Ent(D^2)+\frac{5}{17}\times Ent(D^3)) \\ =0.998-(\frac{6}{17}\times 1.000+\frac{6}{17}\times 0.918+\frac{5}{17}\times 0.722)=0.109 \end{gathered}$$
类似的，可计算出其他属性的信息增益：
$$Gain(D,根蒂)=0.143；Gain(D,敲声)=0.141;Gain(D,纹理)=0.381；Gain(D,脐部)=0.289；Gain(D,触感)=0.006$$
对比上面求出的所有属性的信息增益，属性“纹理”的信息增益最大，所以它被选为划分属性，下图是基于“纹理”对根节点进行划分的结果：

然后，决策树学习算法将对每个分支节点做进一步划分，以上图中第一个分直节点(“纹理=清晰”)为例，该节点包含的样例集合$D^1$中有编号{1,2,3,4,5,6,8,10,15}的9个样例，可用属性集合为{色泽，根蒂，敲声，脐部，触感}。基于$D^1$计算出各属性的信息增益：
$$Gain(D^1,色泽)=0.043;Gain(D^1,根蒂)=0.458；Gain(D^1,敲声)=0.331;Gain(D^1,脐部)=0.458；Gain(D^1,触感)=0.458$$
“根蒂”、“脐部”、“触感”3个属性均取得了最大的信息增益，可选其中之一作为划分属性（注意：叶节点就是当前属性的特征全部属于一类，即全部属于正例或全部属于负例，例如下图中的属性根蒂的两个特征：蜷缩和硬挺）。类似的，对每个分支节点进行上述操作，最终得到的决策树如下：

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C4.5决策树

ID3算法没有考虑连续特征，也没有考虑缺失值的问题。
使用信息增益来进行属性的划分会存在一个缺陷：以信息增益为准则的ID3决策树对可取值数目较多的属性有所偏好
下面就用数学来说明上述问题：
信息熵增益：
$$\begin{gathered} Gain(D,a)=Ent(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v) \\ =Ent(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}(-\sum _{k1}^{|y|}{p}_{k}lo{g}_2{p}_k) \\ =Ent(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}(-\sum _{k=1}^{|y|}\frac{|D_k^v|}{|D^v|}lo{g}_2\frac{|D_k^v|}{|D^v|})\text{\hspace{1em}(19)} \end{gathered}$$

其中，$D_k^v$表示在样本集合D中在属性a上取值为$a^v$且类别为k的样本。

为了说明问题，假设一种极端的情况，即假设取$a^v$的样本个数只有1个，说明属性a可取值个数和样本个数是一样多，即：$V=|D|,D_k^v=D^v=1$，显然此时属性a可以视为取值数目较多的属性。将该情况下的$D_k^v=D^v=1$带入到式(19)中，发现H(D|a)=0,当被减数条件熵取0的时候信息增益取最大，所以此时以信息增益最大的那个属性作为划分属性的话，那么肯定选属性a作为划分属性，但是这样选择出来的决策树泛化能力特别差，严重过拟合

要修复ID3算法的这个缺陷，就提出了C4.5决策树，下面开始说明C4.5决策树。

C4.5决策树是以信息增益率为准则来选择划分属性的决策树。
定义信息增益率：
$$Gai{n}_{r}atio(D,a)=\frac{Gain(D,a)}{IV(a)}\text{\hspace{1em}(20)}$$
其中，
$$IV(a)=-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}lo{g}_2\frac{|D^v|}{|D|}\text{\hspace{1em}(21)}$$
观察信息增益率(20)可知，它在信息增益的基础上再除以一个惩罚项$IV(a)$，那么再观察惩罚项$IV(a)$,发现其类似于前面说的信息熵的表达式。在说信息熵的时候已经交代过：当各类样本分布均匀的时候，它们的信息熵就越大。那么将这个思想应用到信息增益率(20)上，即属性a的可取值数目越多的话，那么惩罚项$IV(a)$就会越来越大，从而导致信息增益率越来越小。这样一来，对于那些可取值数目较多的属性获得更大的惩罚，使得其信息增益率小。

C4.5决策树解决了“可取值较多数目的偏好”问题，那么又带来了另一个问题：相反的，信息增益率偏好于那些取值数目较少的属性。
为了解决这个问题，C4.5决策树提出了这个方法：算法首先找出信息增益高出平均水平的属性，再在这些属性里面选择信息增益率最高的属性作为最优划分属性

C4.5算法的不足：

a. C4.5算法生成的是多叉树，生成决策树对的效率比较慢
b.C4.5只能用于分类
c.C4.5由于使用了熵模型，里面有大量的耗时的对数运算

CART决策树

CART决策树是以基尼指数为准则来选择划分属性的决策树

基尼值：
$$Gini(D)=\sum _{k=1}^{|y|}\sum _{k^{{}^{\prime }}\ne k}{p}_k{p}_{k^{{}^{\prime }}}=\sum _{k=1}^{|y|}{p}_k\sum _{k^{{}^{\prime }}\ne k}{p}_{k^{{}^{\prime }}}=\sum _{k=1}^{|y|}{p}_k(1-p_k)=1-\sum _{k=1}^{|y|}{p}_k^2\text{\hspace{1em}(22)}$$
直观地来看，基尼值就是表示集合D中，随机抽出两个样本，不是同一类别的概率。
基尼指数：
$$Gin{i}_{i}ndex(D,a)=\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Gini(D^v)\text{\hspace{1em}(23)}$$
基尼指数就是在基尼值得前面加上了权重，基尼值和基尼指数越小，样本集合纯度越高。
CART决策树既能做分类任务，又能做回归任务。

1、CART决策树的分类算法

算法流程：

1. 根据基尼指数公式$Gin{i}_{i}ndex(D,a)={\sum }_{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Gini(D^v)$找出基尼指数最小的属性$a_{\ast }$;
2. 计算属性$a_{\ast }$的所有可能取值的基尼值$Gain(D^v),v=1,2,...,V$,选择基尼值最小的取值$a_{\ast }^v$作为划分点，将集合D划分为D1和D2两个集合（节点），其中D1集合的样本为$a_{\ast }=a_{\ast }^v$的样本，D2集合为$a_{\ast }\ne a_{\ast }^v$的样本；
3. 对集合D1和D2重复步骤1和步骤2，直至满足停止条件。

2、CART决策树的回归算法

CART决策树的回归算法几乎和CART决策树的分类算法几乎是一样的，只是换了一个公式来寻找最优划分属性。
CART决策树的回归算法：

1. 根据以下公式找出最优化分属性$a_{\ast }$和最优划分点$a_{\ast }^v$:

   $$a_{\ast },a_{\ast }^v=\underset{a,a^v}{\mathrm{argmin}}[\underset{c1}{\min }\sum _{x_i\in D_1(a,a^v)}(y_i-c1{)}^2+\underset{c1}{\min }\sum _{x_i\in D_1(a,a^v)}(y_i-c2{)}^2]\text{\hspace{1em}(24)}$$
   其中，$D_1(a,a^v)$表示属性a上取值小于等于$a^v$的样本集合，$D_2(a,a^v)$表示属性a上取值大于$a^v$的样本集合，c1表示$D_1$的样本输出均值，c2表示$D_2$的样本输出均值（式（24）是该算法的损失函数）；

2. 根据$a_{\ast }^v$将集合D划分为$D_1$和$D_2$两个集合（节点）；

3. 对集合D_{1}和$D_2$重复步骤1和步骤2，直至满足停止条件。

剪枝

由于决策树算法非常容易过拟合，对于生成的决策树必须要进行剪枝。

1、预剪枝

预剪枝就是在构造决策树的过程中，先对每个节点在划分前进行估计，如果当前结点的划分不能带来决策树模型的泛华性增加，则不对当前结点进行划分并且将当前结点标记为叶结点。
举例（使用西瓜书数据集4.2）：

观察上面的数据集，是好瓜和不是好瓜各有5个，那么根节点的信息熵为：
$$Ent(D)=-\sum _{k=1}^2{p}_{k}log2p_k=-(\frac{1}{2}lo{g}_2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}lo{g}_2\frac{1}{2})=1$$
基于根节点，计算出每个属性的信息增益（直接给结果了）：
$$\begin{gathered} 色泽：Gain(D,a_1)=1-(\frac{4}{10}\times 1+\frac{4}{10}\times 0.811+0)=0.276 \\ 根蒂：Gain(D,a_2)=1-(\frac{1}{2}\times 0.971+\frac{2}{5}\times 1+0)=0.115 \\ 敲声：Gain(D,a_3)=1-(\frac{6}{10}\times 1+\frac{3}{10}\times 0.918+0)=0.174 \\ 纹理：Gain(D,a_4)=1-(\frac{6}{10}\times 1+\frac{3}{10}\times 0.918+0)=0.174 \\ 脐部：Gain(D,a_5)=1-(\frac{4}{10}\times 0.811+\frac{4}{10}\times 01+0)=0.276 \\ 触感：Gain(D,a_6)=1-(\frac{6}{10}\times 1+\frac{4}{10}\times 1)=0 \end{gathered}$$
通过比较，“脐部”和“色泽”的信息增益最大，均为0.276，所以可以从这两个属性中随机挑选一个作为划分属性。这里选择脐部作为划分属性，那么会产生3个分支：

下面就需要用预剪枝来判断是不是应该进行这个划分，判断的标准就是比较划分前后其泛华能力是否有提升。
划分之前，所有的样本都在根结点，把该节点记为叶节点，其类别标记为训练集中样本数量最多的类

别，因此该节点可以标记为好瓜(正负例一样多，所以坏瓜也行)。然后用验证集对其性能进行评估，

可以看出上面图中的验证集中，样本{4,5,8}为好瓜，被决策树分类正确；其他的样本{9,11，12,13}被

误分类为好瓜，所以此时的正确率为$\frac{3}{7}\approx 43\%$。（记住这是没划分之前的正确率）

根据信息增益最大选择划分属性后的决策时如上图，那么此时再次用验证集来来评估这个决策树，此

时的正确率是：$\frac{5}{7}\approx 71\%$，很明显这个准确率大于没划分前的准确率，因此可以用

属性“脐部”进行划分。

决策树算法对结点2继续进行划分，再次使用信息增益挑选出值最大的那个特征，信息增益最大的那个特征是“色泽”（具体计算不写了），则使用“色泽”划分后的决策树为：

再使用预剪枝方法对此次划分进行判断，应不应该进行这个划分：首先“脐部”为“凹陷”的属性集合中

有3个好瓜，1个不是好瓜，那么在使用属性“色泽”划分之前的决策树的划分应该为好瓜；使用“色泽”

属性划分后，使用验证集进行计算，划分后的有4个被正确分类，3个被误分类，那么此时的正确率

为$\frac{4}{7}\approx 57.1\%$ ，明显小于使用“色泽”划分之前的准确率，所以禁止划分该分支。

后面也是按照这个方法来，这里就不一一赘述了。
那么最后的得到如下的决策树：

**总结：**对比剪枝决策树和未剪枝决策树，可以看出，预剪枝决策树的很多分支都没有展开，这虽然降低了过拟合的风险，但有可能带来欠拟合的风险

2、后剪枝

后剪枝就是先把决策树构造完毕，然后自底向上的对非叶结点进行考察，若将该节点对应的子树换为叶结点能够带来泛化性能的提升，则把该子树替换为叶结点。
举例：
假设使用上面的数据集，利用信息增益最大的算法得到的决策树如下，下面开始对该树进行后剪枝。
后剪枝算法首先考察图中的结点（6），若将以其为根节点的子树删除，即相当于把结点（6）替换为

子节点，替换后的叶结点的样本（脐部=稍凹，根蒂=稍蜷，色泽=乌黑）包括编号为{7,15}的训练样

本，把该叶结点标记为“好瓜”（因为这里正负样本数量相等，所以随便寄一个类别），因此此时的决

策树在验证集上分类正确的样本为{4，8，11，12}，，准确率为$\frac{4}{7}=57.1\%$(未剪枝的决策

树分类正确的样本为{4,11,13}，精度为$42.9\%$)，所以后剪枝策略决定剪枝。接着考察结点（5），

同样的操作，把其为根节点的子树替换为叶结点，替换后的叶结点包含编号为{6,7,15}的训练样本，

根据“多数原则”把该叶结点标记为“好瓜”，测试的决策树准确率认为57.1%，所以不进行剪枝。结点

（2）和（3）仍然进行上述操作（不具体说了），最后得到的决策树如下，其准确率为71.4%：

总结：对比预剪枝和后剪枝策略，能够发现后剪枝决策树通常比预剪枝保留了更多的分支，一般情况

下，后剪枝决策树的欠拟合风险小，泛化性能往往也要优于预剪枝。但后剪枝过程是在构建完全

决策树之后进行的，并且要自底向上的对树中的所有非叶结点进行逐一考察，因此其**训练时间开

销要比未剪枝决策树和预剪枝决策树都要大得多**。

连续值和缺失值的处理

上面也有提到，ID3算法不能处有缺实值的数据集，而C4.5和CART弥补了这个缺陷。

1、连续值的处理

对于大多数数据，因为连续性数据的取值数目不再有限，所以不能像前面一样处理离散属性使用枚举法对属性进行划分，因此需要将连续属性离散化，常用的离散化方法是二分法。（C4.5采用的策略）

样本集D中的连续属性a，假设属性a有n个不同的取值，对其进行大小排序，记为$\{a^1,a^2,...,a^n\}$，根据属性可得到n-1个划分点，划分点的集合为：
$$T_a=\{\frac{a^i+a^{i+1}}{2}|1\le i\le n-1\}\text{\hspace{1em}(24)}$$

对于取值集合$T_a$中的每t值会将属性a离散为一个属性值只有两个值，分别是{a>t}和{a<=t}的属性，计算新属性的信息增益，找到信息增益最大的t值即为该属性的最优划分点：
$$Gain(D,a)=\underset{t\in T_a}{\max }Gain(D,a,t)=\underset{\in T_a}{\max }Ent(D)-\sum _{\lambda \in -,+}\frac{|D_t^{\lambda }|}{|D|}Ent(D_t^{\lambda })\text{\hspace{1em}(25)}$$

2、缺失值的处理

现实数据集中的样本通常因为某种原因是缺失的，如果有缺失值的属性的个数比较小，那么可以粗暴地将有缺失值的属性剔除掉；如果有缺失值的属性较多，就不能简单地删除。

在决策树中处理含有缺失值的样本的时候，需要解决两个问题：

• 1、如何在属性缺失值缺失的情况下进行划分属性的选择？
• 2、给定划分属性，若该样本在该属性上的值是缺失的，那么该如何对这个样本进行划分？
  举例说明解决方法：
  对于问题1
  含有缺失值的数据集合如下：

给定训练集D和属性a，令表示$\stackrel{-}{D}$中在属性a上没有缺失值得样本集（比如，假设a=色泽，则$\stackrel{-}{D}=2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,14,15,16,17$）

那么对于第一个问题：我们可以根据$\stackrel{-}{D}$（即在该属性上没有缺失值的样本集）来计算属性a的信息增益或者其他指标。我们只要再给根据计算出来的值一个权重，皆可以表示该训练集D中属性a的优劣。

假定属性a有V个可取值$\{a^1,a^2,...,a^V\}$，令$\stackrel{-}{D^v}$表示D中在属性a上取值为$a^v$的样本集，$\stackrel{-}{D_k}$表示$\stackrel{-}{D}$中属于第k个类（k=1,2,…,|y|）的样本子集，则显然$\stackrel{-}{D}={\cup }_{k=1}^{V_1}\stackrel{-}{D_k},\stackrel{-}{D}{\cup }_{V=1}^{v_1}\stackrel{-}{D^v}$，假定为每个样本X赋予一个权重$W_x$（在决策树的初始阶段，根节点中样本的权重初始化为1），并定义：
$$\rho =\frac{{\sum }_{x\in \stackrel{-}{D^v}}{W}_x}{{\sum }_{x\in D}{W}_x},表示无缺失值样本所占的比例\text{\hspace{1em}(25)}$$
$$\stackrel{-}{p_k}=\frac{{\sum }_{x\in \stackrel{-}{D_k}}{W}_x}{{\sum }_{x\in \stackrel{-}{D}}{W}_x}(1\le k\le |y|),表示无缺失值样本中第k类所占的比例\text{\hspace{1em}(26)}$$
$$\stackrel{-}{r_v}=\frac{{\sum }_{x\in \stackrel{-}{D_v}}{W}_x}{{\sum }_{x\in \stackrel{-}{D}}{W}_x}(1\le v\le V),表示无缺失值样本中在属性a上取值a^v的样本所占比例\text{\hspace{1em}(27)}$$
根据上面的三个公式，此时可以将信息增益推广为：
$$Gain(D,a)=\rho \times Gain(\stackrel{-}{D},a)=\rho \times (Ent(\stackrel{-}{D})-\sum _{v=1}^V\stackrel{-}{r_v}Ent(\stackrel{-}{D^v}))\text{\hspace{1em}(28)}$$

那么上面给出的第一个问题，用式(28)就可以估算出来。

对于问题2:
若样本x在划分属性a上的取值已知，则将x划入与其取值对应的子节点，且样本权值在子节点中保持为$w_x$。若样本x在划分属性a上的取值未知，则将x同时划入所有子节点，且样本权值在与属性值$a^v$对应的子节点中调整为$\stackrel{-}{r_v}\cdot w_x$;直观的看，这就是让同一个样本以不同的概率划入到不同的子节点中去。

用一个实例说明C4.5是怎样利用上述思想来解决缺失值的（直接截图了！！！！）


生成的决策树如下：