编程中十大常用算法：（七）克鲁斯卡尔算法（最小生成树）
介绍
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：
按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
具体做法：
首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入森林中，并使森林不产生回路，直至森林变成一棵树为止。
图解说明
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行说明（假设：用数组R保存最小生成树结果）
（1）将边
边
（2）将边
上一步操作之后，边
（3）将边
上一步操作之后，边
（4）将边
上一步操作之后，边
（5）将边
上一步操作之后，边
（6）将边
上一步操作之后，边
此时，最小生成树构造完成！它包括的边的边依次为：
克鲁斯卡尔算法的重点问题：
问题1：对图中的所有边按照权值大小进行排序。
解决办法：采用排序算法进行排序即可
问题2：将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成回路。
解决办法：记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点是“在最小生成树中与它连通的最大顶点”。然后，每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
举例说明：
在
1）C的终点是F
2）D的终点是F
3）E的终点是F
4）F的终点是F
关于终点的说明：
1）就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是“与它连通的最大顶点”。
2）因此，接下来，虽然
代码实现（Java）：
package com.zq.kruskal;
import java.util.Arrays;
public class KruskalCase {
private int edgeNum;//边的个数
private char[] vertexs;//顶点数组
private int[][] matrix;//邻接矩阵
//使用INF表示两个顶点不能连通
private static final int INF=Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
int matrix[][] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF,
16, 14},
/*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ { INF, INF,
3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ { INF, INF,
5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ { 16, 7, 6, INF,
2, 0, 9},
/*G*/ { 14, INF, INF, INF,
8, 9, 0}};
//大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.
//创建KruskalCase 对象实例
KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
//输出构建的
kruskalCase.print();
kruskalCase.kruskal();
}
public KruskalCase(char[] vertexs,int[][] matrix) {
// TODO Auto-generated
constructor stub
//初始化顶点数和边的个数
int vlen=vertexs.length;
//初始化顶点
this.vertexs=new char[vlen];
for(int i=0;i<vertexs.length;i++) {
this.vertexs[i]=vertexs[i];
}
//初始化边
this.matrix=new int[vlen][vlen];
for(int i=0;i<vlen;i++) {
for(int j=0;j<vlen;j++) {
this.matrix[i][j]=matrix[i][j];
}
}
//统计边的条数
for(int i=0;i<vlen;i++) {
for(int j=i+1;j<vlen;j++) {
if (this.matrix[i][j]!=INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void kruskal() {
int index=0;//表示最后结果数组的索引
int[] ends=new int[edgeNum];//用于保存“已有最小生成树”中的每个顶点在最小生成树中的终点
//创建结果数组，保存最后的最小生成树
EData[] rets=new EData[edgeNum];
//获取图中所有边的集合
EData[] edges=getEdges();
System.out.println("图的边的集合="+Arrays.toString(edges)+"共"+edges.length);
//按照边的权值大小进行排序（从小到大）
sortEdges(edges);
//遍历edges数组，将边添加到最小生成树中时，判断准备加入的边是否形成了回路，如果没有，就加入rets,否则不能加入
for(int i=0;i<edgeNum;i++) {
//获取到第i条边的第一个顶点
int p1=getPosition(edges[i].start);
//获取第i条边的第二个顶点
int p2=getPosition(edges[i].end);
//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
int m=getEnd(ends, p1);
//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
int n=getEnd(ends, p2);
if (m!=n) {
ends[m]=n;
rets[index++]=edges[i];
}
}
//统计并打印”最小生成树“
System.out.println("最小生成树为");
for(int i=0;i<index;i++) {
System.out.println(rets[i]);
}
}
//打印连接矩阵
public void print() {
for(int i=0;i<vertexs.length;i++) {
for(int j=0;j<vertexs.length;j++) {
System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
//对边进行排序
private void sortEdges(EData[] edges) {
for(int i=0;i<edges.length-1;i++) {
for(int j=0;j<edges.length-i-1;j++) {
if (edges[j].weight>edges[j+1].weight) {
EData tmp=edges[j];
edges[j]=edges[j+1];
edges[j+1]=tmp;
}
}
}
}
//返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
private int getPosition(char ch) {
for(int i=0;i<vertexs.length;i++) {
if (vertexs[i]==ch) {
return i;
}
}
return -1;
}
//获取下标为i的顶点的终点，用于后面判断两个顶点的终点是否相同
private int getEnd(int[] ends,int i) {
while(ends[i]!=0) {
i=ends[i];
}
return i;
}
//获取图中边，放入EData数组中
private EData[] getEdges(){
int index=0;
EData[] edges=new EData[edgeNum];
for(int i=0;i<vertexs.length;i++){
for(int j=i+1;j<vertexs.length;j++) {
if (matrix[i][j]!=INF) {
edges[index++]=new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
//创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边
class EData{
char start;//边的一个点
char end;//边的另一个点
int weight;//边的权值
public EData(char start,char end,int weight) {
// TODO Auto-generated
constructor stub
this.start=start;
this.end=end;
this.weight=weight;
}
@Override
public String toString() {
// TODO Auto-generated
method stub
return "EData[<"+start+","+end+">="+weight+"]";
}
}
}
结果：
参考文献：
1.韩顺平-图解Java数据结构和算法