算法竞赛专题解析（10）：DP优化(1)--四边形不等式

本系列文章将于2021年整理出版，书名《算法竞赛专题解析》。
前驱教材：《算法竞赛入门到进阶》 清华大学出版社 2019.8
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  《算法竞赛入门到进阶》的第7章“动态规划”，讲解了DP的概念，以及线性DP、区间DP、树形DP、数位DP、状态压缩DP等应用场景。
  本文以及后续几篇，将介绍DP的优化技术。

  四边形不等式DP优化涉及的证明比较复杂，如果先给出定义和证明会让人迷惑，所以本文的组织结构是：先给出应用场景，引导出四边形不等式的概念，再进行定义和证明，最后用例题巩固。
  四边形不等式DP优化，虽然理论有点复杂，但是编码很简单。

1 理论背景

  四边形不等式（quadrangle inequality）应用于DP优化，是一个古老的知识点。它起源于Knuth（高纳德）1971年的一篇论文¹，用来解决最优二叉搜索树问题。1980年，储枫（F. Frances Yao，姚期智的夫人）做了深入研究²，扩展为一般性的DP优化方法，把一些复杂度$O(n^3)$的DP问题，优化为$O(n^2)$。所以这个方法又被称为“Knuth-Yao DP Speedup Theorem”。

2 应用场合

  有一些常见的DP问题，通常是区间DP问题，它的状态转移方程是：
    $dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j])$
  其中$i<=k<j$，初始值$dp[i][i]$已知。$min()$也可以是$max()$，见本文第6小节的说明。
  方程的含义是：
  （1）$dp[i][j]$表示从$i$状态到$j$状态的最小花费。题目一般是求$dp[1][n]$，即从起始点$1$到终点$n$的最小花费。
  （2）$dp[i][k]+dp[k+1][j]$体现了递推关系。$k$在$i$和$j$之间滑动，$k$有一个最优值，使得$dp[i][j]$最小。
  （3）$w[i][j]$的性质非常重要。$w[i][j]$是和题目有关的费用，如果它满足四边形不等式和单调性，那么用DP计算dp的时候，就能进行四边形不等式优化。
  这类问题的经典的例子是“石子合并”³，它的转移矩阵就是上面的$dp[i][j]$，$w[i][j]$是从第$i$堆石子到第$j$堆石子的总数量。

---

石子合并
题目描述：有n堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。将n堆石子并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆石子，合并的花费为这两堆石子的总数。经过n-1次合并后成为一堆，求总的最小花费。
输入：测试数据第一行是整数n，表示有n堆石子。接下来的一行有n个数，分别表示这n堆石子的数目。
输出：总的最小花费。
输入样例：
3
2 4 5
输出样例：
17
提示：样例的计算过程是：第一次合并2+4=6；第二次合并6+5=11；总花费6+11=17。

---

  在阅读后面的讲解时，读者可以对照“石子合并”这个例子来理解。注意，石子合并有多种情况和解法，详情见本文的例题“洛谷P1880石子合并”。
  $dp[i][j]$是一个转移矩阵，如何编码填写这个矩阵？复杂度是多少？如果直接写$i、j、k$的3层循环，复杂度$O(n^3)$。
  注意3层循环的写法。$dp[i][j]$是大区间，它从小区间$dp[i][k]$和$dp[k+1][j]$转移而来，所以应该先计算小区间，再逐步扩展到大区间。

for(int i=1; i<=n; i++)
    dp[i][i] = 0;                       //初始值
for(int len = 2; len <= n; len++)       //len：从小区间扩展到大区间
	for(int i = 1; i <= n-len+1; i++){  // 区间起点i
   		int j = i + len - 1;            // 区间终点j
   		for(int k = i; k < j; k++) //大区间[i,j]从小区间[i,k]和[k+1,j]转移而来
   			dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j]);
	}

3 四边形不等式优化

  只需一个简单的优化操作，就能把上面代码的复杂度变为$O(n^2)$。这个操作就是把循环$i\le k<j$改为：
    $s[i][j-1]\le k\le s[i+1][j]$
  其中$s[i][j]$记录从i到j的最优分割点。在计算$dp[i][j]$的最小值时得到区间$[i,j]$的分割点$k$，记录在$s[i][j]$中，用于下一次循环。
  这个优化被称为四边形不等式优化。下面给出优化后的代码，优化见注释的几行代码。

for(i = 1;i <= n;i++){
    dp[i][i] = 0;                        
    s[i][i] = i;                        //s[][]的初始值
}
for(int len = 2; len <= n; len++)       
	for(int i = 1; i <= n-len+1; i++){   
   		int j = i + len - 1;            
   		for(k = s[i][j - 1]; k <= s[i + 1][j]; k++){   //缩小循环范围
            if(dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j]){  //是否更优
   			   dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j];
               s[i][j] = k;                 //更新最佳分割点
            }
   		}
	}

  代码的复杂度是多少？
  代码中$i$和$k$这2个循环，优化前是$O(n^2)$的。优化后，每个$i$内部的$k$的循环次数是$s[i+1][j]-s[i][j-1]$，其中$j=i+len-1$。那么：
  $i=1$时，$k$循环$s[2][len]-s[1][len-1]$次。
  $i=2$时，$k$循环$s[3][len+1]-s[2][len]$次。
  …
  $i=n-len+1$时，$k$循环$s[n-len+2][n]-s[n-len+1][n+1]$次。
  上述次数相加，总次数：
     $s[2][len]-s[1,len-1]+s[3][len+1]-s[2,len]+\dots +s[n+1,n]-s[n][n]$
    $=s[n-len+2][n]-s[1][len-1]$
     $<n$
  $i$和$k$循环的时间复杂度优化到了$O(n)$。总复杂度从$O(n^3)$优化到了$O(n^2)$。
  在后面的四边形不等式定理证明中，将更严谨地证明复杂度。
  下图给出了四边形不等式优化的效果，$s_1$是区间$[i,j-1]$的最优分割点，$s_2$是区间$[i+1,j]$的最优分割点。

图1 四边形不等式优化效果

  读者对代码可能有2个疑问：
  （1）为什么能够把$i<=k<j$缩小到$s[i][j-1]\le k\le s[i+1][j]$？
  （2）$s[i][j-1]\le s[i+1][j]$成立吗？
  下面几节给出四边形不等式优化的正确性和复杂度的严谨证明，解答了这2个问题。

4 四边形不等式定义和单调性定义

  在四边形不等式DP优化中，对于$w$，有2个关键内容：四边形不等式定义、单调性。
  （1）四边形不等式定义1：设$w$是定义在整数集合上的二元函数，对于任意整数$i\le i^{\prime }\le j\le j^{\prime }$，如果有 $w(i,j)+w(i^{\prime },j^{\prime })\le w(i,j^{\prime })+w(i^{\prime },j)$，则称$w$满足四边形不等式。
  四边形不等式可以概况为：两个交错区间的$w$和，小于等于小区间与大区间的$w$和。
  为什么被称为“四边形”？把它变成一个几何图，画成平行四边形，见下面图中的四边形$i^{\prime }ij{j}^{\prime }$。图中对角线长度和$ij+i^{\prime }{j}^{\prime }$大于平行线长度和$i{j}^{\prime }+i^{\prime }j$，这与四边形的性质是相反的，所以可以理解成“反四边形不等式”。请读者注意，这个“四边形”只是一个帮助理解的示意图，并没有严谨的意义。也有其他的四边形画法，下面这种四边形是储枫论文中的画法。当中间两个点$i^{\prime }=j$时，四边形变成了一个三角形。

图2 四边形不等式 w(i, j) + w(i', j') ≤ w(i, j') + w(i', j)

  定义1的特例是定义2。
  （2）四边形不等式定义2：对于整数$i<i+1\le j<j+1$，如果有 $w(i,j)+w(i+1,j+1)\le w(i,j+1)+w(i+1,j)$，称$w$满足四边形不等式。
  定义1和定义2实际上是等价的，它们可以互相推导⁴。

  （3）单调性：设w是定义在整数集合上的二元函数，如果对任意整数$i\le i^{\prime }\le j\le j^{\prime }$，有$w(i,j^{\prime })\ge w(i^{\prime },j)$，称w具有单调性。
  单调性可以形象地理解为，如果大区间包含小区间，那么大区间的$w$值超过小区间的$w$值。

图3 w的单调性w(i, j') ≥ w(i', j)

  在石子合并问题中，令w[i][j]等于从第i堆石子加到第j堆石子的石子总数。它满足四边形不等式的定义、单调性：
  $w[i][j^{\prime }]\ge w[i^{\prime }][j]$，满足单调性；
  $w[i][j]+w[i^{\prime }][j^{\prime }]=w[i][j^{\prime }]+w[i^{\prime }][j]$，满足四边形不等式定义。
  利用$w$的四边形不等式、单调性的性质，可以推导出四边形不等式定理，用于DP优化。

5 四边形不等式定理（Knuth-Yao DP Speedup Theorem）

  在储枫的论文中，提出并证明了四边形不等式定理。
  四边形不等式定理：如果$w(i,j)$满足四边形不等式和单调性，则用DP计算$dp[][]$的时间复杂度是$O(n^2)$的。
  这个定理是通过下面2个更详细的引理来证明的。
  引理1：状态转移方程 $dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j])$，如果$w[i][j]$满足四边形不等式和单调性，那么$dp[i][j]$也满足四边形不等式。
  引理2：记$s[i][j]=k$是$dp[i][j]$取得最优值时的$k$，如果$dp$满足四边形不等式，那么有$s[i][j-1]\le s[i][j]\le s[i+1][j]$，即$s[i][j-1]\le k\le s[i+1][j]$。
  定理2直接用于DP优化，复杂度$O(n^2)$。

6 证明四边形不等式定理

  这里翻译储枫论文中对引理1和引理2的证明，并加上了本作者的一些说明。
  定义方程$c(i,j)$：
    $c(i,i)=0$
    $c(i,j)=w(i,j)+min(c(i,k-1)+c(k,j))$    $i<k\le j$    $(6-1)$
  前面的例子$dp[i][j]$和这里的$c(i,j)$略有不同，$dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j])$，其中$w[i][j]$在$min()$内部。证明过程是一样的。
  公式(6-1)的$w$要求满足四边形不等式：
    $w(i,j)+w(i^{\prime },j^{\prime })\le w(i^{\prime },j)+w(i,j^{\prime })$    $i\le i^{\prime }\le j\le j^{\prime }$ $(6-2)$
  而且要求$w$是单调的：$w(i^{\prime },j)\le w(i,j^{\prime })$    $[i^{\prime },j]\subseteq [i,j^{\prime }]$
  （1）证明引理1
  引理1：如果$w(i,j)$满足四边形不等式和单调性，那么$c(i,j)$也满足四边形不等式：
    $c(i,j)+c(i^{\prime },j^{\prime })\le c(i^{\prime },j)+c(i,j^{\prime })$    $i\le i^{\prime }\le j\le j^{\prime }$    $(6-3)$
  下面证明(6-3)。
  当$i=i^{\prime }$或$j=j^{\prime }$时(6-3)显然成立，下面考虑另外2个情况：A). $i<i^{\prime }=j<j^{\prime }$和B).$i<i^{\prime }<j<j^{\prime }$。

case A). i < i’ = j < j’
  代入公式(6-3)，得到一个“反”三角形不等式（图4的三角形$ij{j}^{\prime }$，两边的和小于第三边）：
    $c(i,j)+c(j,j^{\prime })\le c(i,j^{\prime })$      $i<j<j^{\prime }$    $(6-4)$
  现在证明公式(6-4)。
  假设$c(i,j^{\prime })$在$k=z$处有最小值，即$c(i,j^{\prime })=c_z(i,j^{\prime })$。这里定义$c_k(i,j)$等于$w(i,j)+c(i,k-1)+c(k,j)$。
  有2个对称情况A1)和A2)。
  case A1). z ≤ j
  $z$是$(i,j^{\prime })$区间的最优点，不是$(i,j)$区间的最优点，所以有：
    $c(i,j)\le c_z(i,j)=w(i,j)+c(i,z-1)+c(z,j)$
  在两边加上$c(j,j^{\prime })$：
    $c(i,j)+c(j,j^{\prime })\le w(i,j)+c(i,z-1)+c(z,j)+c(j,j^{\prime })$
     $\le w(i,j^{\prime })+c(i,z-1)+c(z,j^{\prime })$
    $=c(i,j^{\prime })$
  上面的推导时利用了下面2条：
  1)$w$的单调性，有$w(i,j)\le w(i,j^{\prime })$ ；
  2)公式(6-4)的归纳假设：假设$z\le j\le j^{\prime }$时成立，递推出$i<j<j^{\prime }$时公式(6-4)也成立。观察下面的图，有$c(z,j)+c(j,j^{\prime })\le c(z,j^{\prime })$，它满足反三角形不等式。

图4 储枫论文图-引理1的case A1

  case A2). $z\ge j$。是A1)的对称情况。

case B). $i<i^{\prime }<j<j^{\prime }$
  假设公式(6-3)右边的小区间$c(i^{\prime },j)$和大区间$c(i,j^{\prime })$分别在$k=y$和$k=z$处有最小值，记为：
    $c(i^{\prime },j)=c_y(i^{\prime },j)$
    $c(i,j^{\prime })=c_z(i,j^{\prime })$
  同样有2个对称情况B1)和B2)。
  case B1). $z\le y$
  有 $c(i^{\prime },j^{\prime })\le c_y(i^{\prime },j^{\prime })$
  和 $c(i,j)\le c_z(i,j)$
  两式相加得：
    $c(i,j)+c(i^{\prime },j^{\prime })$
    $\le c_z(i,j)+c_y(i^{\prime },j^{\prime })$
    $=w(i,j)+w(i^{\prime },j^{\prime })+c(i,z-1)+c(z,j)+c(i^{\prime },y-1)+c(y,j^{\prime })$    $(6-5)$
  公式(6-5)的进一步推导利用了下面2条：
  1)根据$w$的四边形不等式，有$w(i,j)+w(i^{\prime },j^{\prime })\le w(i^{\prime },j)+w(i,j^{\prime })$；
  2)根据公式(6-3)的归纳假设，即假设$z\le y<j<j^{\prime }$时成立。观察下图，有$c(z,j)+c(y,j^{\prime })\le c(y,j)+c(z,j^{\prime })$，满足反四边形不等式。

图5 储枫论文图-引理1的case B1

  则公式(6-5)变为：
    $c(i,j)+c(i^{\prime },j^{\prime })$
    $\le w(i^{\prime },j)+w(i,j^{\prime })+c(i,z-1)+c(i^{\prime },y-1)+c(y,j)+c(z,j^{\prime })$
    $\le c_y(i^{\prime },j)+c_z(i,j^{\prime })$
    $=c(i^{\prime },j)+c(i,j^{\prime })$
  case B2). $z\ge y$。是B1)的对称情况。
  引理1证毕。

  （2）证明引理2
  用$K_c(i,j)$表示$max\{k|c_k(i,j)=c(i,j)\}$，也就是使$c(i,j)$得到最小值的那些$k$中，最大的那个是$K_c(i,j)$。定义$K_c(i,i)=i$。$K_c(i,j)$就是前面例子中的$s[i][j]$。
  引理2： $K_c(i,j)\le K_c(i,j+1)\le K_c(i+1,j+1)$      $(6-6)$
  下面是证明。
  $i=j$时显然成立，下面假设$i<j$。
  先证明公式(6-6)的第一部分$K_c(i,j)\le K_c(i,j+1)$。这等价于证明：对于$i<k\le k^{\prime }\le j$，有
    $c_{k^{\prime }}(i,j)\le c_k(i,j)\Rightarrow c_{k^{\prime }}(i,j+1)\le c_k(i,j+1)$     $(6-7)$
  公式(6-7)的意思是：如果$c_{k^{\prime }}(i,j)\le ck(i,j)$成立，那么$c_{k^{\prime }}(i,j+1)\le c_k(i,j+1)$也成立。$c_{k^{\prime }}(i,j)\le c_k(i,j)$的含义是，在$[i,j]$区间，$k^{\prime }$是比$k$更好的分割点，可以把$k^{\prime }$看成$[i,j]$的最优分割点。扩展到区间$[i,j+1]$时，有$c_{k^{\prime }}(i,j+1)\le c_k(i,j+1)$，即$k^{\prime }$仍然是比$k$更好的分割点。也就是说，区间$[i,j+1]$的最优分割点肯定大于等于$k^{\prime }$。
  下面证明公式(6-7)。
  根据四边形不等式，在$k\le k^{\prime }\le j<j+1$时，有
    $c(k,j)+c(k^{\prime },j+1)\le c(k^{\prime },j)+c(k,j+1)$
  在两边加上 $w(i,j)+w(i,j+1)+c(i,k-1)+c(i,k^{\prime }-1)$，得：
     $c_k(i,j)+c_{k^{\prime }}(i,j+1)\le c_{k^{\prime }}(i,j)+c_k(i,j+1)$
  把ck(i, j) 移到右边：$c_{k^{\prime }}(i,j+1)\le c_{k^{\prime }}(i,j)+c_k(i,j+1)-c_k(i,j)$      $(6-8)$
  把(6-7)的$c_{k^{\prime }}(i,j)\le c_k(i,j)$的两边加上$c_k(i,j+1)$：
    $c_{k^{\prime }}(i,j)+c_k(i,j+1)\le c_k(i,j)+c_k(i,j+1)$
    $c_{k^{\prime }}(i,j)+c_k(i,j+1)-c_k(i,j)\le c_k(i,j+1)$
  结合(6-8)，得$c_{k^{\prime }}(i,j+1)\le c_k(i,j+1)$，公式(6-7)成立。
  同样可以证明，公式(6-6)的右半部分$K_c(i,j+1)\le K_c(i+1,j+1)$，在$i<i+1\le k\le k^{\prime }$时成立。
  引理2说明当$i、j$增大时，$K_c(i,j)$是非递减的。

  （3）证明四边形不等式定理
  利用引理2，可推论出四边形不等式定理，即用DP计算所有的$c(i,j)$的时间复杂度是$O(n^2)$的。下面对这一结论进行说明。
  用DP计算$c(i,j)$时，是按$\delta =j-i=0,1,2,...,n-1$的间距逐步增加进行递推计算的。具体过程请回顾前面第2节求dp[i][j]的代码。从$c(i,j)$递推到$c(i,j+1)$时，只需要$K_c(i+1,j+1)-K_c(i,j)$次最少限度的操作就够了。总次数是多少呢？对一个固定的$\delta$，计算所有的$c(i,j)，1\le i\le n-\delta ，j=i+\delta$，次数是：
  i = 1时：$K_c(1+1,1+\delta +1)-K_c(1,\delta +1)=K_c(2,\delta +2)-K_c(1,\delta +1)$
  i = 2时：$K_c(2+1,2+\delta +1)-K_c(2,\delta +2)=K_c(3,\delta +3)-K_c(2,\delta +2)$
  i = 3时：$K_c(3+1,3+\delta +1)-K_c(3,\delta +3)=K_c(4,\delta +4)-K_c(3,\delta +3)$
  …
  $i=n-\delta$时：$K_c(n-\delta +1,n-\delta +\delta +1)-K_c(n-\delta ,\delta +n-\delta )=K_c(n-\delta +1,n+1)-K_c(n-\delta ,n)$
  以上式子相加，次数 $=K_c(n-\delta +1,n+1)-K_c(1,\delta +1)$，小于$n$。
  对一个$\delta$，计算次数是$O(n)$的；有$n$个$\delta$，总计算复杂度是$O(n^2)$的。
  以上证明了四边形不等式定理。
  （4）$min$和$max$
  前面讨论的都是$min$，如果是$max$，也可以进行四边形不等式优化。此时四边形不等式是“反”的：
    $w(i,j)+w(i^{\prime },j^{\prime })\ge w(i^{\prime },j)+w(i,j^{\prime })$      $i\le i^{\prime }\le j\le j^{\prime }$
  定义：
    $c(i,j)=w(i,j)+max(a(i,k)+b(k,j))$     $i\le k\le j$
  引理3：若$w、a、b$都满足反四边形不等式，那么$c$也满足反四边形不等式。
  引理4：如果$a$和$b$满足反四边形不等式，那么：
    $K_c(i,j)\le K_c(i,j+1)\le K_c(i+1,j+1)$    $i\le j$
  证明与引理1和引理2的证明类似。

7 一维决策单调性优化

  上述的四边形不等式优化，是“二维决策单调性”优化。在“一维决策单调性”的情况下也能优化。
  李煜东《算法竞赛进阶指南》“0x5B四边形不等式”指出：状态转移方程 $F[i]=mi{n}_{0\le j<i}\{F[j]+val(j,i)\}$，若$val$满足四边形不等式，则$F$具有决策单调性，可以把DP计算$F[i]$的复杂度从$O(N^2)$优化到$O(NlogN)$。

8 例题

  拿到题目后，先判断w是否单调、是否满足四边形不等式，再使用四边形不等式优化DP。
8.1 石子合并

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洛谷 P1880 https://www.luogu.com.cn/problem/P1880
题目描述：在一个圆形操场的四周摆放N堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
试设计出一个算法，计算出将 N 堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分。
输入：
数据的第 1 行是正整数 N，表示有 N 堆石子。
第 2 行有 N 个整数，第 i 个整数 ai表示第 i 堆石子的个数。
输出：
输出共 2 行，第 1 行为最小得分，第 2 行为最大得分。
样例输入：
4
4 5 9 4
样例输出：
43
54

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题解：
  （1）如果石子堆没有顺序，可以任意合并，用贪心法，每次选择最小的两堆合并。
  （2）本题要求只能合并相邻的两堆，不能用贪心法。贪心操作是每次合并时找石子数相加最少的两堆相邻石子。例如环形石子堆开始是{2, 4, 7, 5, 4, 3}，下面用贪心得到最小值64，但是另一种方法得到63。

  （3）用四边形优化DP求解石子合并的最小值，复杂度是$O(n^2)$。
  状态转移矩阵$dp[i][j]$前文已有说明，这里不再赘述。
  最小值用四边形不等式优化DP，$w$在四边形不等式中取等号：$w[i][j]+w[i^{\prime }][j^{\prime }]=w[i][j^{\prime }]+w[i^{\prime }][j]$。
  本题的石子堆是环状的，转换为线形的更方便处理。复制和原来一样的数据，头尾接起来，使$n$的数列转化为$2n$的数列，变成线形的。
  （4）这一题除了求最小值，还求最大值。虽然最大值也用DP求解，但是它不满足反四边形不等式的单调性要求，不能优化。而且也没有必要优化，可以用简单的推理得到：区间$[i,j]$的最大值，等于区间$[i,j-1]$和$[i+1,j]$中的最大值加上$w(i,j)$。
  （5）石子合并问题的最优解法是GarsiaWachs算法，复杂度O(nlogn)。读者可以参考“洛谷P5569 石子合并”，这题$N\le 40000$，用DP会超时。

8.2 最优二叉搜索树
  最优二叉搜索树是Knuth（高纳德）解决的经典问题，是四边形不等式优化的起源。

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Optimal Binary Search Tree
uva10304 https://vjudge.net/problem/UVA-10304
题目描述：给定$n$个不同元素的集合$S=(e_1,e_2,...,e_n)$，有$e_1<e_2<...<e_n$，把$S$的元素建一棵二叉搜索树，希望查询频率越高的元素离根越近。
  访问树中元素$e_i$的成本$cost(e_i)$等于从根到该元素结点的路径边数。给定元素的查询频率$f(e_1)，f(e_2)，...，f(e_n)$，定义一棵树的总成本是：
     $f(e_1)\ast cost(e_1)+f(e_2)\ast cost(e_2)+...+f(e_n)\ast cost(e_n)$
  总成本最低的树就是最优二叉搜索树。
输入：
  输入包含多个实例，每行一个。每行以$1\le n\le 250$开头，表示$S$的大小。在$n$之后，在同一行中，有$n$个非负整数，它们表示元素的查询频率，$0\le f(e_i)\le 100$。
输出：
  对于输入的每个实例，输出一行，打印最优二叉搜索树的总成本。
样例输入：
1 5
3 10 10 10
3 5 10 20
样例输出：
0
20
20

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题解：
  二叉搜索树（BST）的特点是每个结点的值，比它的左子树上所有结点的值大，比右子树上所有值小。二叉搜索树的中序遍历，是从小到大的排列。第3个样例的最优二叉搜索树的形状见下图，它的总成本是$5\ast 2+10\ast 1=20$。

图6 二叉搜索树

  题目给的元素已经按照从小到大排列，可以方便地组成一棵BST。
  设$dp[i][j]$是区间$[i,j]$的元素组成的BST的最小值。把区间$[i,j]$分成两部分$[i,k-1]$和$[k+1,j]$，$k$在$i$和$j$之间滑动。用区间$[i,j]$建立的二叉树，$k$是根结点。这是典型的区间DP，状态转移方程：
    $dp[i][j]=min\{dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+w(i,j)-e[k]\}$
  $w(i,j)$是区间和，$w(i,j)=f_i+f_{i+1}+...+f_j$。当把两棵左右子树连在根结点上时，本身的深度增加$1$，所以每个元素都多计算一次，这样就解决了$cost(e_i)$的计算。最后，因为根节点$k$的层数是0，所以减去根节点的值$e[k]$。
  w(i, j)符合四边形不等式优化的条件，所以$dp[i][j]$可以用四边形不等式优化。

8.3 其他题目
  很多区间DP问题都能用四边形不等式优化。
  hdu 3516 Tree Construction http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3516
  hdu 2829 Lawrence http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2829
   hdu 3506 Monkey Party http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3506
   洛谷P1912 诗人小G https://www.luogu.com.cn/problem/P1912
   洛谷 P4767 邮局 < https://www.luogu.com.cn/problem/P4767>
   HDU 3480 Division http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3480

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1. Donald E. Knuth. Optimum binary search trees. Acta Informatica, 1:14–25, 1971. ↩︎

2. F. Frances Yao. Efficient dynamic programming using quadrangle inequalities. In Proceedings of the 12th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, pages 429–435, 1980.
   论文下载：http://www.cs.ust.hk/mjg_lib/bibs/DPSu/DPSu.Files/p429-yao.pdf ↩︎

3. 参考《算法竞赛入门到进阶》7.3节 区间DP，“石子合并”问题。 ↩︎

4. 读者可以自己证明。证明过程参考《算法竞赛进阶指南》李煜东，河南电子音像出版社，329页，“0x5B 四边形不等式”。 ↩︎