库仑定律与叠加原理

库仑定律

库仑定律的精确表述是：两个静止的点电荷$q_0$和$q_1$之间的作用力的大小与两点电荷电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两点电荷间的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。其数学表达式为
$${\mathbf{F}}_{10}=k\frac{q_1{q}_0}{r_{10}^3}{\mathbf{r}}_{10}=-{\mathbf{F}}_{01}$$

其中$k$为比例常数，由实验测定并与单位制有关。${\mathbf{F}}_{10}$是$q_1$作用到$q_0$上的力，${\mathbf{F}}_{01}$为反作用力。
取国际单位制时，在真空中
$$k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$$

其中${ϵ}_0$为真空介电常数或电容率。

• 库仑定律适用的对象是点电荷。
• 库仑定律与力学中的万有引力定律非常相似，都具有与距离的平方成反比的特征，都是长程力，都满足牛顿第三定律。它们的区别如下：

1. 电荷有正、负两种，异号电荷相吸，同号电荷相斥。但是对质点来说，它们之间只有引力没有斥力。
2. 静电之间的作用可以屏蔽，而质点间的引力相互作用是无法屏蔽的。
3. 带电粒子间的库仑力远大于它们间的万有引力。通常在讨论原子、固体、液体的结构以及化学作用时，只需考虑库仑力，忽略引力。而当讨论宇宙中天体的大尺度结构和运动问题时，又只涉及引力，因为行星、恒星、星系等都是电中性的。
4. 库仑定律给出的距离平方反比律中，距离$r$的范围相当大，其数量级大到$10^{7}m$而小到$10^{-17}m$的时候，距离平方反比律仍然成立。在更大范围内可以找到距离平方反比定律仍然成立的间接证据，但是难以通过实验直接验证。
5. 库仑定律只适用于两点电荷静止的情况，因而又称为静电力。当两点电荷发生运动时，由库仑定律所预言的相互作用力应该进行相应的修改。但只要它们运动的速度远低于光速，这一修改可以忽略。
6. 各种相互作用都是通过某种粒子来传递的，其中电磁相互作用是通过光子来传递的。

叠加原理

两个静止点电荷之间的相互作用力不因第三个静止点电荷的存在而改变；由$N$个静止点电荷$q_1$, $q_2$, $q_3$, $\cdots$, $q_N$组成的系统，作用到静止点电荷$q_0$上的库仑力可以表示为
$$\mathbf{F}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{q}_0\sum _{i=1}^N\frac{q_i}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_i{|}^3}(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_i)$$
这就是叠加原理。式中，$\mathbf{r}$为$q_0$的位置矢量，${\mathbf{r}}_i$为$q_i$的位置矢量。这里的求和为矢量叠加。

1. 带电体系对静止点电荷的作用力
   将叠加原理由点电荷系统推广到有一定大小的带电体的情况。把带电体分割为许多电荷元，在分析它们各自对$q_0$的作用时，均可当作点电荷处理。
   为电荷元的体积为$\Delta V$，电量为$\Delta q$，定义
   $${\rho }_e=\frac{\Delta q}{\Delta V}$$
   则${\rho }_e$为体电荷密度，表示单位体积的电荷量。注意$\Delta V$的尺度应该远远大于带电体中微观带电粒子间的平均距离，但远小于电荷分布的非均匀尺度（在该尺度上，体电荷密度${\rho }_e$发生显著变化），即$\Delta V$应是微观无穷大、宏观无穷小的体积元。如果电荷只分布在物体表面极薄的一层，则定义相应的面电荷密度
   $${\sigma }_e=\frac{\Delta q}{\Delta S}$$
   最后线状带电体可定义线电荷密度
   $${\lambda }_e=\frac{\Delta q}{\Delta l}$$
   随后即可用叠加原理来求带电体对电荷$q_0$的作用力。对体电荷密度为${\rho }_e(\mathbf{r})$的带电体，用电荷元的电量${\rho }_e({\mathbf{r}}^{\prime })d{V}^{\prime }$代替$q_i$，并将求和改为体积分，可以得到带电体对点电荷$q_0$的作用力为
   $$\mathbf{F}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{q}_0{\iiint }_V\frac{{\rho }_e({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })d{V}^{\prime }$$
   式中，$V$为体积分区域，即带电体所占区域。采用类似方法，可以得到
   $$\begin{gathered} \mathbf{F}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{q}_0{\iint }_S\frac{{\sigma }_e({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })d{S}^{\prime } \\ \mathbf{F}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{q}_0{\int }_l\frac{{\lambda }_e({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })d{l}^{\prime } \end{gathered}$$

2. 带电体系之间的作用力
   带电体对点电荷的作用力公式可直接推广至两个带电体系之间的相互作用。设有体积为$V_1$、电荷密度为${\rho }_1(\mathbf{r})$和体积为$V_2$、电荷密度为${\rho }_2(\mathbf{r})$的两个带电体，则两个带电体之间的库仑力为
   $${\mathbf{F}}_{12}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\iiint }_{V_1}{\iiint }_{V_2}\frac{{\rho }_1(\mathbf{r}{)}_1{\rho }_2({\mathbf{r}}_2)}{|{\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1{|}^3}({\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1)d{V}_{1}d{V}_2=-{\mathbf{F}}_{21}$$

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