Reinforcement Learning 1

1. RL几个应用

Learning to play AlphaGo

• Supervised（监督学习的方式）
  • 从老师那里学习，即通过打标签的方式学习
  • 比如看棋谱学，但棋谱是人下的，人下的那一步就是最优的吗？
• Reinforement Learning
  • 从经验中学习，其实人可能都不知道哪一步是最优的
• AlphaGo的学习方式
  • 先做Supervised Learning，从高手棋谱中学习
  • 通过Supervised Learning训练出两个模型，他们互相博弈

Learning a Chat-Bot

• 如何评判生成句子的好坏是关键问题，总不能一直“See you”循环下去。
• 预测将来可能出现的做法
  • 在RL中引入生成对抗网络
  • 判别生成的句子是否符合真实数据的分布

Playing Video Game

• 两个常用的游戏平台
  • Gym
  • Universe
• episode，一局游戏，从开始到结束

2. RL的概念

RL的难点

• Reward Delay 奖励延迟

  比如，打飞机游戏中，只有开火才会拿到Reward，但左右操作不会。但左右操作又会影响最后得分的高低，毕竟就算一直开火而不躲避也会导致被子弹击中从而导致游戏结束。所以，这就需要机器能够合理规划以获得长期的利益。

• Agent采取的行为会影响之后的行为

  Agent需要充分的探索它所处的环境。还是以打飞机游戏为例，若是Agent从来都没有尝试过开火，那么它永远无法得到高分。

RL常用的做法

• Policy-Based，主要目的是学习一个Actor
• Value-Based，主要目的是学习一个Critic
• 那现在比较流行的做法是：Actor + Critic

3. RL三个步骤

Neural Network as Actor

• Input：机器的观察，Vector或者是Matrix
• OutPut：输出层每一个神经元代表一个动作

Goodness of Actor 1

• 给定一个Actor ${\pi }_{\theta }(s)$，神经网络就是Actor，参数为$\theta$ 。使用${\pi }_{\theta }(t)$来玩游戏，那么总体的Reward如下：

  $$TotalReward:R_{\theta }=\sum _{t=1}^T{r}_t$$

• 由于环境是一直在变化的（输入会变），比如打游戏玩家不同的位置、画面等，所以就算是同一个Actor玩千百次游戏最后得到的$R_{\theta }$也会不一样。而强化学习的目的是最大化Reward从而选择出最佳的Actor，那么直接最大化$R_{\theta }$是没有意义的，而应该最大化所有$R_{\theta }$的期望。

• 定义${\bar{R}}_{\theta }$为$R_{\theta }$的期望值，所以最终的目的应该是最大化${\bar{R}}_{\theta }$。当玩的所有局获得的Reward期望最大时，就说明这个Actor整体上达到了较好的能力。（可用随机放回采样钞票来类比，若是整体期望很大，那么盒子里钞票值普遍都比较大，即Reward普遍比较大）。

Goodness of Actor 2

• 将一个episode考虑为一个$\tau$，即一场游戏的开始到结束这个过程。这个过程有千百种，有些经常出现，有些不太出现。$\tau$的定义如下：

  $$\tau =\{s_1,a_1,r_1,s_2,a_2,r_2,...,s_T,a_T,r_T\}$$

  其中$s_i$代表当前的状态，$a_i$代表采取的动作，$r_i$代表收获的Reward。

• 当一个Actor开始玩游戏的时候，每一个$\tau$都有一定的概率出现，我们用$P(\tau |\theta )$来代表不同的$\tau$出现的概率。那么所有$R_{\theta }$的期望为：

  $${\bar{R}}_{\theta }=\sum _{\tau }R(\tau )P(\tau |\theta )$$

  这个公式的理解方式类比于离散随机变量求期望：假设可以穷举所有的$\tau$，那么${\bar{R}}_{\theta }$应该为每种$\tau$出现的机率乘上该$\tau$能够获取的总体Reward的总值。

• 对${\bar{R}}_{\theta }$的进一步思考：由于总体的目标是希望选择的Actor在不同的$\tau$下都能够获得尽可能高的$Reward$，那么使得${\bar{R}}_{\theta }$最大的那个Actor就是我们所需要的。

• 由于前穷举所有的$\tau$可能性很低，那么只能用一个Actor玩N场游戏得到$\{{\tau }^1,{\tau }^2,...,{\tau }^3\}$来类比所有的$\tau$。也就相当于从$P(\tau |\theta )$中采样N次，那么每个$\tau$出现的概率应该为$\frac{1}{N}$，所以${\bar{R}}_{\theta }$近似为：

  $${\bar{R}}_{\theta }=\sum _{t}R(\tau )P(\tau |\theta )\approx \frac{1}{N}\sum _1^{N}R({\tau }^n)$$

  相当于把N个$\tau$的$R(\tau )$求和并取平均。

Pick the best Actor 1

• 根据前文，已将问题转化为：

  $${\theta }^{\ast }=arg\underset{\theta }{\max }{\bar{R}}_{\theta }=arg\underset{\theta }{\max }\sum _{\tau }R(\tau )P(\tau |\theta )$$

• 那么就可以采用梯度上升来更新模型的参数

  • Start with ${\theta }^0$
  • ${\theta }^1={\theta }^0+\eta \nabla {\bar{R}}_{{\theta }^0}$
  • ${\theta }^2={\theta }^1+\eta \nabla {\bar{R}}_{{\theta }^1}$
  • …

Pick the best Actor 2

那么$\nabla {\bar{R}}_{\theta }$到底该怎么求呢？

• 根据${\bar{R}}_{\theta }$的公式，可以得到：

  $$\nabla {\bar{R}}_{\theta }=\sum _{\tau }R(\tau )\nabla P(\tau |\theta )$$

  • 其中，$R(\tau )$和$\theta$并没有关系，所以不需要求梯度。因为Reward是环境给的，比如游戏中的计分板，我们不需要计分的具体过程和规则，只要拿到值就可以了。
  • 所以即使$R(\tau )$不可微，不知道其具体的$function$也没有关系，只要给了输入能够给输出就行。

• 再进一步看上面的式子，可以推导出：

  $$\begin{gathered} \nabla {\bar{R}}_{\theta }=\sum _{\tau }R(\tau )\nabla P(\tau |\theta ) \\ =\sum _{\tau }R(\tau )P(\tau |\theta )\frac{\nabla P(\tau |\theta )}{P(\tau |\theta )} \\ \approx \frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}R({\tau }^n)\nabla \log P({\tau }^n|\theta ) \end{gathered}$$

  约等于已在上文解释，因为无法穷取所有的$\tau$，故只能采样类比。那么每个$\tau$出现的概率应该为$\frac{1}{N}$，可以提到求和前面。

Pick the best Actor 3

根据上文的推导，问题就转化为了$\nabla \log P({\tau }^n|\theta )=?$，那么该怎么求呢？

• 前文定义$\tau =\{s_1,a_1,r_1,s_2,a_2,r_2,...,s_T,a_T,r_T\}$，故可以得到：

  $$P(\tau |\theta )=P(s_1)P(a_1|s_1,\theta )P(r_1,s_2|s_1,a_1)P(a_2|s_2,\theta )...$$

  • $P(s_1)$代表游戏开始画面出现的几率
  • $P(a_1|s_1,\theta )$代表${\theta }_1$下的Actor，在$s_1$状态下，取动作$a_1$的机率
  • $P(r_1,s_2|s_1,a_1)$代表，在$s_1$状态下采取动作$a_1$，获取$r_1$并指向状态$s_2$的概率

• 那么，上面的式子可以进一步写为：

  $$\begin{gathered} P(\tau |\theta )=P(s_1)\prod _{t=1}^{T}P(a_t|s_t,\theta )P(r_t,s_{t+1}|s_t,a_t) \\ =\log P(s_1)+\sum _{t=1}^T\log P(a_t|s_t,\theta )+\log P(r_t,s_{t+1}|s_t,a_t) \end{gathered}$$

  其中$\log P(s_1)$和$\log P(r_t,s_{t+1}|s_t,a_t)$都是与$\theta$无关的项，与游戏环境相关。

• 于是，可以得到：

  $$\nabla \log P(\tau |\theta )=\sum _{t=1}^T\nabla \log P(a_t|s_t,\theta )$$

Pick the best Actor 4

根据上文的推导，最终的问题可以转化为如下式子：

$$\begin{gathered} \nabla {\bar{R}}_{\theta }\approx \frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}R({\tau }^n)\nabla \log P({\tau }^n|\theta ) \\ =\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}R({\tau }^n)\sum _{t=1}^{T_n}\nabla \log P(a_t^n|s_t^n,\theta ) \\ =\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\sum _{t=1}^{T_n}R({\tau }^n)\nabla \log P(a_t^n|s_t^n,\theta ) \end{gathered}$$

最后得到的一项式子是非常直觉的，可以体现学习过程中很多重要的信息，将在下面一一列出。

• 机器在${\tau }^n$过程中，在$s_t^n$的状态下采取行动$a_t^n$导致

  • $R({\tau }^n)$为正，则希望这个$a_t^n$出现的机率越大越好，需调整$\theta$来增加$P(a_t^n|s_t^n)$
  • $R({\tau }^n)$为负，则希望这个$a_t^n$出现的机率越小越好，需调整$\theta$来降低$P(a_t^n|s_t^n)$

• $P(a_t^n|s_t^n,\theta )$的意思是：在某一$\tau$过程中，在$t$时刻的所观测的状态$s_t^n$，采取动作$a_t^n$的概率。

  • 但$P(a_t^n|s_t^n,\theta )$乘以的是该$\tau$整体的Reward $R({\tau }^n)$，而不是当前时刻$t$采取行动后的Reward $R({\tau }_t^n)$
  • 所以，训练完毕后的Actor每次采取的动作往往是为了最大化整体的利益，而不是局部的利益。这就可以避免前文提到的问题：打飞机只有开火才能获得Reward，而左移、右移不会有任何Reward，但会对最大化Reward有帮助，所以机器每次做的决策要考虑全局而不是一直开火。

• $\nabla \log P(a_t^n|s_t^n,\theta )$为什么要取$\log$?分母$P(a_t^n|s_t^n,\theta )$的作用是什么呢？

  $$\nabla \log P(a_t^n|s_t^n,\theta )=\frac{\nabla P(a_t^n|s_t^n,\theta )}{P(a_t^n|s_t^n,\theta )}$$

  • 举个例子，如有以下的$\tau$过程
    • ${\tau }^{13}$，采取行动a，$R({\tau }^{13})=2$
    • ${\tau }^{15}$，采取行动b，$R({\tau }^{15})=1$
    • ${\tau }^{17}$，采取行动b，$R({\tau }^{17})=1$
    • ${\tau }^{33}$，采取行动b，$R({\tau }^{33})=1$
  • 虽然动作a会有更高的Reward，但由于动作b出现次数很多，在求和所有R之后，b动作带来的总Reward会更高；这就导致机器将b出现的机率调高，以获得总体的Reward更高。故虽然a可以获取更高的Reward，机器也会限制它的发生机率。

• 在看了上述例子之后，我们再回头解释分母$P(a_t^n|s_t^n,\theta )$存在的意义，其实$\frac{\nabla P(a_t^n|s_t^n,\theta )}{P(a_t^n|s_t^n,\theta )}$相当于对各种action出现的次数做了normalize，从而使得机器不会偏好出现次数过高的action，而是综合评价出现次数和单次行动获得的Reward。

通过上述对目标函数直观的解释和理解，我们可以发现目标函数不仅保证了全局利益，也能保证得到做出合理决策的Actor。

Add a Baseline 1

若是$R(\tau {)}^n$一直为正，会发生什么事情？

• 理想状态下，不会有什么问题。若有三个动作a、b、c，通过充分的采样，三个动作都发生了，那么三个动作在进行梯度下降的时候都会有相应的提升。

• 但若采样不充分，导致某个动作没有发生如动作a没有发生，就会使得动作b、c的机率增加，而a的机率减小。所以，我们希望$R({\tau }^n)$有正有负，那么可以添加一项$b\approx E(R({\tau }^n))$。

  $$\nabla {\bar{R}}_{\theta }=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\sum _{t=1}^{T_n}(R({\tau }^n)-b)\nabla \log P(a_t^n|s_t^n,\theta )$$

Add a BaseLine 2

• 假设有两个$\tau$的片段如下：

  • $(s_a,a_1,r=5),(s_b,a_2,r=0),(s_c,a_3,r=-2),R=3$
  • $(s_a,a_1,r=-5),(s_b,a_2,r=0),(s_c,a_3,r=-2),R=-7$

• 在上面两个例子中，执行$a_2$并不会获得太差的Reward。但在原始的Policy Gradient中，乘上的权重为$R({\tau }^n)$，即一场游戏的总Reward，这虽然能考虑全局收益，但同时拉低了某些好的action出现的概率，从而使得当前Actor出现偏好。

• 如在上述的例子中，$a_2$之前采取的动作其实和$a_2$将产生的结果并没有任何关系，$a_2$之后产生的结果只和$a_2$之后的动作相关。故可以修改Policy Gradient为：

  $$\nabla \overline{R_{\theta }}\approx \frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\sum _{t=1}^{T_n}[\sum _{t^{{}^{\prime }}=t}^{T_n}{r}_{t^{{}^{\prime }}}^n-b]\nabla log{P}_{\theta }(a_t^n|s_t^n)$$

  即将权重从全局的Reward修改为，采取动作$a_t$之后所有Reward的总和

• 再进一步，由于当前的action对后续动作的影响会随着时间的推移而逐渐减弱，故需要乘上一个衰减因子$\gamma <1$，于是式子更新为：

  $$\nabla \overline{R_{\theta }}\approx \frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\sum _{t=1}^{T_n}[\sum _{t^{{}^{\prime }}=t}^{T_n}{\gamma }^{t^{{}^{\prime }}-t}{r}_{t^{{}^{\prime }}}^n-b]\nabla log{P}_{\theta }(a_t^n|s_t^n)$$

• 中间的那一项称之为Advantage Function，即

  $$A^{\theta }(s_t,a_t)=\sum _{t^{{}^{\prime }}=t}^{T_n}{\gamma }^{t^{{}^{\prime }}-t}{r}_{t^{{}^{\prime }}}^n-b$$

参考资料：台大李宏毅强化学习。推荐本文和宝可梦大师的现场教学一起食用，效果更佳~

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