≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（十三）

本学期最后一堂课的笔记...就这样，每周上班的时候都没有惦念的了，我是有多么喜欢教室和课堂呀。或者说，真的是太习惯学校的生活方式了吧...

这一节主要是在上一节的基础上，介绍一些可加模型或者树模型的相关（改进）方法。

MARS

MARS全称为Multivarible Adaptive Regression Splines，看名字就能猜出来大致他是做啥的。MARS这家伙与CART一脉相承（话说CART的竞争对手就是大名鼎鼎的C4.5）。不过，还是先说一下MARS到底是怎么玩的吧。

数据集依旧记作D={(xi,yi),1≤i≤N}

，然后就是splines的思想：我们定义 C={(xj−xji)+,(xij−xj)+,1≤j≤p,1≤i≤N} ，其中 (x−t)+={x−t0,x≥t,else 和 (t−x)+={t−x0,x≤t,else

，画出图形来就是:

这样就可以定义I函数了：I(x≥t)={10,x≥t,else

，以及 I(t≥x)={<br/><br/>10,t≥x,else

，越来越有spines味道了是不是？

之后就是定义f函数：fJ(x)=∑Jj=1βjhj(x)

，然后有意思的就来了： hj(x) 是 C 中函数或者几个函数的乘积，选定了 hj(x) 之后我们就可以用最小二乘法来求解相应的 β 了。然后在接下来的每一步，我们都添加 βm+1h(x)(xj−xji)+βm+2h(x)(xji−xj)+⋯ 这样，一步步的， fJ(x)=∑Jj=1βjhj(x) 就开始增长。当我们用完了 hj(x)

之后，显然有

over-fit的嫌疑，所以开始逐步的减少一些hj(x)

——考虑移除那些对减少残差平方和贡献比较小的项目。沿着cross-validation的思路，就可以定义函数 GCV=∑Ni=1(yi−f^λ(xi))2(1−M(λ)/N)2

。

PRIM

PRIM的全称为Patient Rule Induction Method，呃看名字貌似是一种比较耐心的一步步递归的方法。果不其然，最开始就是我们要先定义“削皮”：选取(0,1)

区间内任意的 α ，比如0.1，然后开始削皮～削皮的策略大概就是，选定一个维度，去掉这个维度比如最大10\%或者最小10\%的样本，然后看剩余部分的y均值有没有增长。总共有p个维度，所以我们有 2p 中削皮法。选择其中上升最高的方法，削皮。然后继续来一遍，直到不能再增长的时候，停止，最终得到一块“精华”（贪心的算法）。之后，我们又要开始粘贴，即再贴上去一块儿，看看是否能涨。这样我们得到一个 R1 区，区域均值为 β1

。

从总体中扔掉这R1

区中的样本，然后继续做下去，比如一共J次，得到J个区域（这些区域的空间可能是有交集的），这样的策略称为Bump-Hunting（肿块寻找），最终得到若干个区域，各区域中的样本均值作为 β

（以第一次出现的空间为准）。

HME

HME的全称为Hierarchical Mixture of Experts，听起来像是一个智囊团的感觉。画出来呢，就是一个树的形状。

大致的思想就是，以概率分配到各个枝条（软分类器），这样有eγix∑leγix=P(j|x)

。对于最下面一层的expert

net，可以用分类树或者其他任何的分类器。对于HME，可用EM算法来解。两类的情形，就有P(1|x)=eγ11xeγ11x+1

，有点像logit的变形有没有？

一句话的总结呢，就是这些方法看上去合理，比较容易follow the intuition，但是树类的结构弄得很难用现有的方法证明原理和一些相关性质（完全非线性呀）。

模型的总结：广义线性模型和基函数模型

从第一章到第九章，我们探索了很多个模型。说到底，模型就是y=f(x)

，然后我们有参数模型 y=f(x|θ) ，其中 θ∈Θ ， x∈Rp

。

最简单的来说，就是线性模型，形式为f(x|θ)=xθ=∑θjxj

，其中 1≤j≤p

。显然，线性模型便是参数模型。

然后就是广义线性模型（GLM），我们可以先扩张x，就有f(x|θ)=∑Mm=1θmhm(x)x′sfunction=∑Mm=1θmXm~

。说到底，就是已知的 h(⋅) 把数据从 Rp 空间映射到一个新的 RM 空间。然后还可以把y再广义化，用一个可逆的已知函数 g(⋅) 变成 y~ 。这样，就有 y=g[∑Mm=1θmXm~]⇒ g−1(y)=∑Mm=1θmXm~ ，最终说来 Y~ 和 X~

这两个空间实现了一种线性的映射关系。

接下来我们就会看到一种形状很类似的树模型，但不是GLM：f(x|T)=∑Mm=1I(x∈Rm)

。显然这里 Rm

远非线性的，而且是变量。

接着参数化，我们就有f(x|θ)=∑βmg(x|γm)

，若 γm 未知，即 g(⋅) 可变，则非GLM。这类的模型更适合的名字是：自适应基函数模型，即我们试图构造一些可以自适应的基函数，然后通过其线性组合构造最终的模型。这类模型经典如：树模型、GMM（高斯混合模型）、神经网络等。