线性筛(分解阶乘质因子) - 阶乘分解 - AcWing 197

线性筛 - 阶乘分解 - AcWing 197

$给定整数N，试把阶乘N!分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的p_i和c_i即可。$

输入格式

一个整数N。

输出格式

$N!分解质因数后的结果，共若干行，每行一对p_i,c_i，表示含有p_i^{ci}项。按照p_i从小到大的顺序输出。$

数据范围

$1\le N\le 10^6$

输入样例：

5

输出样例：

2 3
3 1
5 1

样例解释

$5!=120=2^3\ast 3\ast 5$

---

分析：

$若对阶乘每个乘数都做一遍质因子分解再累加，时间复杂度为O(n\sqrt{n})，不合理。$

$可以反过来考虑，枚举每一个质因子P_i，然后计算P_i在n！中的次数是多少。$

$先计算[1,n]中有多少P_i的倍数，共有\lfloor \frac{n}{P_i}\rfloor 个，累加上，$

$但可能存在某个数能够分解出P_i^2，但是在上一步只被计算了一个贡献，$

$所以我们要将所有包含因子P_i^2的数再统计一个贡献，$

$故再计算[1,n]中共有多少P_i^2的倍数，共有\lfloor \frac{n}{P_i^2}\rfloor 个，累加上，$

$依次类推...$

$直到P_i^k>n。$

结论：

$n！中每个质因子P_i的次数=\frac{n}{P_i}+\frac{n}{P_i^2}+\frac{n}{P_i^3}+...$

代码：

#include
#include

#define ll long long

using namespace std;

const int N=1e6+10;

int primes[N],cnt;
int st[N];

void get_prime(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt++]=i;
        for(int j=0;primes[j]*i<=n;j++)
        {
            st[primes[j]*i]=true;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    get_prime(n);
    
    int p,s=0;
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        s=0;
        p=primes[i];
        for(int j=n;j;j/=p) s+=j/p;
        cout<<p<<' '<<s<<endl;
    }
    
    return 0;
}