[文献阅读]dropout as a bayesian approximation: representing model uncertainty in deep learning

剑桥大学Ghahramani发表在ICML16.

【abstract】用于回归和分类的DL工具没有表示模型不确定性。bayesian模型有数学上完备的框架推导模型不确定性，但常有过高的计算代价。
文章将深度神经网络中的dropout训练理解为 深度高斯过程 中的近似贝叶斯推理，通过dropout NN建模不确定性，不影响计算复杂度和模型准确性。仔细研究了dropout表示不确定性的属性。MNIST数据上的实验，各种网络结构，非线性函数模型，能在预测似然和RMSE上达到最新水平。考虑了深度强化学习中使用dropout不确定性。

【keypoint】NN的bayesian VB，把dropout解释为后验分布为mixture of norm, scale=0带来的参数的稀疏性/特征的选择。

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背景： DL 不确定性。

离训练数据很远的点的分类，应该有一些不确定性？
实践中关键系统，需要知道模型不确定性，进而将不确定的结果交给人来处理。
强化学习中知道不确定性，可以在开发和探索环境中做选择。

bayesian 全连接NN

神经网络

训练数据 N 个，输入（特征）X，输出（标签）Y。
NN模型， L 层，
第 i 层的权重参数 Wi ，维度 Ki×Ki−1 ；
第 i 层的bias向量 bi ,维度 Ki 。
模型最终输出 y^ 。
损失函数 E （比如softmax loss, square loss）， L2 正则项。
目标函数 L=1N∑iE(yi,yi^)+λ∑Lj=1(||Wj||2+||bj||2)

概率表示

共L层 的参数 W={Wi}
L层网络最终输出
y^(x,W)=1KL−−−√WLσ(…1K1−−−√W2σ(W1x+b1)…)
预测概率
p(y|x,W)=N(y;y^(x,W),1τID)
p(y|x,X,Y)=∫p(y|x,W)p(W|X,Y)dW
其中后验 p(W|X,Y)
参数的先验 Wimn∼N(0,1) , b∼p(b)

dropout

二元随机变量，第 i 层取值为1的概率为 pi .
对除了最后一层的每一层的每一个单元，随机采样，当二元随机变量取0的时候丢弃该单元（输出值置0？）
第i-1层到第i层的参数 Wi 大小为 Ki×Ki−1 , 第i-1层 Ki−1 个单元，第i层 Ki 个单元。
将 Wi共 K_{i-1}$列，讲第j列置0，相当于第i-1层的第j个单元的输出不再对第k层有影响。

zi,j∼Bernoulli(pi) ， i=1,...,L,j=1,...,Ki−1
Wi=Midiag([zi,j]Kij=1)

bayesian inference

假设后验分布的近似 q(W) :
Wi.j∼piN(Mi.j,σ2IKi)+(1−pi)N(0,σ2IKi)
pi∈[0,1] 为不dropout的概率。第i-1层到第i层的权重 Wi 的第j列同时dropout或者不dropout，相当于第i-1层的第j个单元的输出不再对第i层的所有 Ki 个单元其作用。
bi∼N(mi,σ2IKi)

re-parameter技巧 从后验分布采样
ϵ∼N(0,1)
zij∼Bernoulli(pi)
Wi.j=zij(M1.j+σϵ)+(1−zij)σϵ
bij=mij+σϵ

最小化后验估计 q(W) 与intractable的后验 p(W|X,Y) 之间的KL距离得目标函数
相当于最大化似然相对于估计后验的期望，同时最小化估计后验与先验的KL距离
minL=−∫q(W)logp(Y|X,W)dW+KL(q(W)||p(W))

采用Monte Carlo积分，从估计的后验分布采样 W^ , 用求和的形式表示
minL=−∑Nn=1logp(y|x,W^)+KL(q(W)||p(W))

mixture of Gaussian 与 p(w)的KL距离：
q(w)=pN(m,σ2)+(1−p)N(0,σ2)
p(w)=N(0,1)
当w的维度k很大， σ 很小时候，有:
KL(q(w)||p(w))=p2mTm+C1σ2+C2logσ2+C

所以

• dropout 相当于假设了参数W的近似后验分布是mixture of 2 Gauss 且 σ=0 , 所以W的近似的后验分布与先验分布的KL距离相当于 L2 norm，且mixture的组合比例概率 pi 是L2 norm的系数。
• 实践中的操作都相当于是从后验分布的采样，直接给后验分布方便解释的假设分布。但是
  
  • 怎么证明是好的假设，后验分布真的是这种分布，这样的解释真的正确？ 数值画图？
• 具体 哪一步 必须 用到 高斯过程 呢？

variational inference

预测分布是 关于模型(的参数)的后验分布的期望
p(y∗|x∗,X,Y)=∫p(y∗|x∗,w)p(w|X,Y)dw
后验分布p(w|X,Y)通常不能解析地计算得到。
假设一个分布q(w)去近似后验分布p，最小化两个分布的距离。
mean-field VB, 用KL衡量两个分布的距离。
优化目标为：最大化evidence,并最小化估计的后验q与真实后验p的距离。
这等价于，最大化log似然关于估计后验的期望，并最小化估计后验q与先验p(w)的距离。

深度高斯过程DP

随机变量：一些关于时间的函数，在某一给定时刻，取某一个函数的值。
随机过程：一些关于时间的函数，各个时刻，取某一个函数的取值。
高斯过程：取出任意一些时刻的 取值，满足高斯分布。

高斯过程 理论完备

• uncertainty estimate函数取值
• 对过拟合鲁棒
• principled方法条件超参数
• 通过近似变分inference，统计的分布式的inference，可以运用到大数据

高斯过程可以建模 一些函数上的分布。
输入到输出的函数f: X →Y。为函数f设置先验，求后验。
p(f|X,Y) \propto p(f) p(Y|f,X)

通过高斯过程 evaluate回归任务中f的后验，estimate分类任务中f的后验。

回归

p(Y,f|X)=p(f)p(Y|X,f)
=p(F|X)p(Y|F)=N(0,K(X,X))N(F,1τIN)
由数据的特征X确定F，由F加扰动得到标签Y。

分类

p(cn,F|X)=p(F|X)p(cn|F)=N(0,K(X,X))Categorical(expFnd∑d′expFnd′)
由数据特征X确定F，由F加softmax得到属于各类的概率。

分类问题相对于回归问题，由F到Y的不确定性不在扰动，而在结果是各类上的分布-不是某一个类标签。

F是为X每一个点给出了预测，为这N个点一起做预测。
预测结果，这N个X的预测的均值是0，预测的协方差与X的协方差相关。
两个输入 xi,xj 比较相似 K(xi,xj) ，则这两个的预测结果F也相似。

协方差函数kernel

协方差：两个变量同时改变， how much the two change together
协方差函数/kernel：一个随机过程的时序的temporal协方差，随机场的空间的spatial协方差。
随机过程中两个时间点x,y的取值的协方差 C(x_i,x_j)=cov(z(x_i),z(x_j))
稳定的stationary随机过程，两个点的协方差只与两点的时间间隔相关，与是哪个时间点无关。 C(xi,xj)=C(xi+h,xj+h)=Cs(xj−xi)

参数化协方差函数
squared exponential 协方差函数：
K(d)=exp{−(dV)2} ,
d:两个点的距离–时刻？
V:参数
是稳定的，有smooth采样路径。

高斯过程的 variational inference

要积分掉 高斯过程的协方差函数的参数。

假设随机过程中两个时刻（两个输入数据特征） xi,xj 的协方差函数是这样的形式：
K(xi,xj)=∫N(w;0,IQ)p(b)σ(wTxi+b)σ(wTxj+b)dwdb
Q是输入特征 xi 的维度。
相当于x经过一个一层神经网络，得到 activation=σ(wx+b) ，两个activation的乘积，积分掉参数w,b(关于参数w,b的期望)。

Monte Carlo积分，取K组(w,b)参数 计算K，求平均， 来近似上述积分。
K^(xi,xj)=1K∑kσ(wTkxi+bk)σ(wTkxj+bk) .

对wb积分 对应于 从Q维到R的一层网络的所有情况。
Monte Carlo积分，假设网络这一层是K个单元，在K种Q维到R的映射上的平均。

输入数据特征Q维
一层神经网络K个单元
参数 Wqk
每一组参数为 W.k,bk ，
两个输出的协方差，用K组 两个输出的乘积 平均 近似。

考虑所有数据集N个输入X的输出F的协方差。

一个数据输入特征x经过K个单元后的activation(并除于 K−−√ )为 ϕ , k维的，
ϕk=1K√σ(W.kx+bk)
N个数据输入特征X经过K个单元后的activation为 Φ ,是 N×K 维的。
根据 K^(xi,xj) 的定义，
K^(X,X)=ΦΦT

F|X,w,b∼N(0,ΦΦT)
Y|F∼N(F,1τIN)
Y,F|X,w,b∼N(F;0,ΦΦT)N(Y;F,1τIN)
Y|X,w,b∼N(Y;0,ΦΦT+1τIN)

积分掉函数F了
高斯过程，对预测函数F的分布的协方差K做了参数化的假设wb，
并且用K组参数W.k,bk去近似K得到 K^ .
将对函数的后验F|X,Y积分 转换为了 对参数W,b|X,Y积分。

协方差函数 K , L 层的深度高斯过程 可以通过 对GP的协方差函数的谱分解的每个元素设置一个变分分布来估计。谱分解将GP的每一层映射到 明确表示的隐单元的一层。

extensions

• regression to classification
• add scale to prior 先验的scale和后验的mixture权重共同确定l2-norm的系数
• mini-batch ?
• experiments?