数据结构--位图 BitMap

1. 位图

我们有1千万个整数，整数的范围在1到1亿之间。如何快速查找某个整数是否在这1千万个整数中呢？

• 当然，这个问题可以用散列表来解决。可以使用一种特殊的散列表，那就是位图。
• 申请一个大小为1亿、布尔类型（true或者false）的数组。将这1千万个整数作为数组下标，将对应的数组值设置成true。比如，整数5对应下标为5的数组值设置为true，也就是array[5]=true。
• 查询某个整数K是否在这1千万个整数中的时候，只需将array[K]取出来，看是否等于true。如果等于true，那说明1千万整数中包含这个整数K；相反，就表示不包含这个整数K。
• 不过，很多语言中提供的布尔类型，大小是1个字节的，并不能节省太多内存空间。实际上，表示true和false，只需要**一个二进制位（bit）**就可以了。
• 我们可以借助编程语言中提供的数据类型，比如int、long、char等类型，通过位运算，用其中的某个位表示某个数字。

2. 位图代码

#include 
#include 
using namespace std;
class BitMap
{
    char *bytes;    //char是1字节，8位
    int nbits;
public:
    BitMap(int n)
    {
        nbits = n;
        bytes = new char [nbits/8 + 1];
        memset(bytes, 0, (nbits/8+1)*sizeof(char));
    }
    ~BitMap()
    {
        delete [] bytes;
    }
    void set(int k)
    {
        if(k > nbits)
            return;
        int byteIndex = k/8;
        int bitIndex = k%8;
        bytes[byteIndex] |= (1<<bitIndex);
    }
    bool get(int k)
    {
        if(k > nbits)
            return false;
        int byteIndex = k/8;
        int bitIndex = k%8;
        return (bytes[byteIndex] & (1 << bitIndex)) != 0;
    }
    void print()
    {
    	for(int i = 15; i >= 0; --i)
    		cout << get(i) << " ";
    }
};
int main()
{
    BitMap bm(8);
    bm.set(8);
    cout << bm.get(8) << endl;
    bm.print();
    return 0;
}

比如上面例子，如果用散列表存储这1千万的数据，数据是32位的整型数，也就是需要4个字节的存储空间，那总共至少需要40MB的存储空间。如果通过位图的话，数字范围在1到1亿之间，只需要1亿个二进制位，1亿/8/1024/1024 = 12, 也就是12MB左右的存储空间就够了。

不过，这里我们有个假设，就是数字范围不是很大。如果数字的范围很大，数字范围不是1到1亿，而是1到10亿，那位图的大小就是10亿个二进制位，也就是120MB的大小，消耗的内存空间，不降反增！

怎么办？请布隆过滤器登场！

3. 布隆过滤器 Bloom Filter

• 布隆过滤器就是为了解决刚刚这个问题，对位图这种数据结构的一种改进。

还是刚刚那个例子，数据个数是1千万，数据的范围是1到10亿。

• 布隆过滤器的做法是，我们仍然使用一个1亿个二进制大小的位图，然后通过哈希函数，对数字进行处理，让它落在这1到1亿范围内。比如我们把哈希函数设计成f(x) = x%n。其中，x表示数字，n表示位图的大小（1亿），也就是，对数字跟位图的大小进行取模求余。

• 哈希函数会存在冲突的问题，为了降低冲突概率，可以设计一个复杂点、随机点的哈希函数。除此之外，还有其他方法吗？

• 我们来看布隆过滤器的处理方法。既然一个哈希函数可能会存在冲突，那用多个哈希函数一起定位一个数据，是否能降低冲突的概率呢？

• 使用 K 个哈希函数，对同一个数字进行求哈希值，那会得到K个不同的哈希值，我们分别记作X₁，X₂，X₃，……X_k 。我们把这 K 个数字作为位图中的下标，将对应的BitMap[X₁],BitMap[X₂],BitMap[X₃],……BitMap[X_k]都设置成true，也就是说，我们用 K 个二进制位，来表示一个数字的存在。

• 当我们要查询某个数字是否存在的时候，我们用同样的 K 个哈希函数，对这个数字求哈希值，分别得到Y₁，Y₂，Y₃，……Y_k 。看这 K 个哈希值，对应位图中的数值是否都为true，都是true，这个数字存在，任意一个不为true，说明这个数字不存在。
  
  对于两个不同的数字，经过 K 个哈希函数处理之后，K 个哈希值都相同的概率就非常低了。尽管采用 K 个哈希函数之后，两个数字哈希冲突的概率降低了，但是，这种处理方式又带来了新的问题，那就是容易误判。看下面例子。
  

• 布隆过滤器的误判有一个特点，那就是，它只会对存在的情况有误判。

• 如果某个数字经过布隆过滤器判断不存在，那说明这个数字真的不存在，不会误判

• 如果某个数字经过布隆过滤器判断存在，有可能误判，有可能并不存在。不过，只要我们调整哈希函数的个数、位图大小跟要存储数字的个数之间的比例，那就可以将这种误判的概率降到非常低。

• 尽管布隆过滤器会存在误判，但是，这并不影响它发挥大作用。很多场景对误判有一定的容忍度。

4. 总结

布隆过滤器非常适合这种不需要100%准确的、允许存在小概率误判的大规模判重场景。比如统计一个大型网站的每天的UV数，也就是每天有多少用户访问了网站，就可以使用布隆过滤器，对重复访问的用户，进行去重。

布隆过滤器的误判率，主要跟哈希函数的个数、位图的大小有关。往布隆过滤器中不停地加入数据之后，位图中不是true的位置就越来越少了，误判率就越来越高了。所以，对于无法事先知道要判重的数据个数的情况，我们需要支持自动扩容的功能。

当布隆过滤器中，数据个数与位图大小的比例超过某个阈值的时候，我们就重新申请一个新的位图。后面来的新数据，会被放置到新的位图中。但是，如果我们要判断某个数据是否在布隆过滤器中已经存在，我们就需要查看多个位图，相应的执行效率就降低了一些。

位图、布隆过滤器应用如此广泛，很多编程语言都已经实现了。比如 Java 中的 BitSet 类就是一个位图，Redis 也提供了 BitMap 位图类，Google 的 Guava 工具包提供了BloomFilter 布隆过滤器的实现。

课后思考
1.假设我们有1亿个整数，数据范围是从1到10亿，如何快速并且省内存地给这1亿个数据从小到大排序？

传统做法：1亿个整数，存储需要400M空间
位图算法：数字范围是1到10亿，用位图存储125M就够了，然后将1亿个数字依次添加到位图中，再将位图按下标从小到大输出值为1的下标，排序就完成了，时间复杂度为O(n)