[算法导论笔记]--所有结点对的最短路径问题

本文所贴示的伪代码均来源《算法导论》，本文只是对其中《所有结点对的最短路径问题》章节的简单总结，许多数学证明过程已忽略。

对于给定有向图G=(V,E)理论上，我们可以使用|V|次单源最短路径算法来解决所有结点对之间的最短路径问。但除此之外，我们可以利用动态规划来解决此问题(因为一条最短路径的子结构也包含了最短路径).

一、基础解法

最短路径的结构:

对于有向图G=(V,E)的所有结点对的最短路径问题，可以证明一条最短路径的所有子路径都是最短路径。假定用邻接矩阵来表示输入图，即W=(  ). 考虑从结点i到结点j的一条最短路径p，假定p至多包含m条边，还假定没有权重为负值的环路，且m为有限值。

 

如果i=j，则p的权重为0且不包含任何边。如果结点i和j不同，则可以将其分解为i~k->j,其中路径i~k(用p’表示)至多包含m-1条边。可以证明，p’是从结点i到k的一条最短路径。因此，δ(i,j)=δ(i,k)+ 。

 

对所有结点对最短路径问题的递归解

现在假设) 为从结点i到结点j至多包含m条路边的任意路径中的最小权重。当m=0时，从结点i到j之间存在一条没有边的路径当且仅当i=j。因此有

对于m>=1,我们需要计算的 是 的最小值和从i到j最多由m条边组成的任意路径的最小权重。我们通过对j的所有可能前驱k进行检查来获得该值，因此递归定义：

因为对于所有的j有  ，所以上述等式后面的式子成立。

 

但是真正的最短路径权重δ(i,j)是多少呢?如果图G不包含权重为负值的环路，则对于每一结点i和j，如果δ(i,j)<∞,从i到j之间存在一条最短路径。由于该路径是简单路径，最多包含n-1条边，从结点i到结点j由多于n-1条边构成的路径不可能比前者更短。因此，真正的最短路径权重可以由下面公式得出:

自底向上计算最短路径

根据输入矩阵W=(  ),现在可以计算出矩阵序列 、 、… ,其中对于m=1，2…n-1有 =  ，最后的矩阵 包含的是最短路径的实际权重。注意，对于所有的结点i和j， = (  ) , 因此  。

算法的核心伪代码如下：

 

二、Floyd-Warshall算法

在Floyd算法中，对一条最短路径的描述和上文稍有不同。Floyd算法考虑的是一条最短路径的中间结点。这里，简单路径p=上的中间结点是指p上除了v1和vl之外的所有结点。

Floyd算法依赖于下面的观察，假定图G的所有结点为V={1,2…n}；考虑到其中的一个子集{1,2…k},这里k是某个小于n的整数，并且设p为其中权重最小的路径(路径p是简单路径)。Floyd算法利用了路径p和从i到j之间中间结点均取自集合{1,2,…k-1}的最短路径之间的关系。该关系依赖于结点k是否是路径p上的一个中间结点。

·如果结点k不是路径p上的中间结点，则路径p上的所有中间结点一定属于集合{1,2…k-1};所以从结点i到j的中间结点取自{1,2…k}的最短路径也是结点i到j的中间结点取自{1,2…k-1}的最短路径；

·如果结点k是路径p上的中间结点，则路径p可以表示为i~k~j；其中i~k为路径p1，k~j为路径p2.显然，路径p1上的所有中间结点必定在{1,2…k-1}中，自然，p1是从结点i到k的中间结点位于{1,2…k-1}的最短路径。对于p2实际上也是同理，很容易退出，p2也是从结点k到j上的中间结点位于{1,2,…k-1}的一条最短路径；

于是，我们可以得到此问题的递归解：

                                       

其中 表示从i到j的中间结点都属于集合{1,2…k}的一条最短路径的权重。

由此，可以很容易得到Floyd算法的伪代码(自底向上的DP方法)

 

构建一条最短路径

在Floyd算法中，可以有许多不同的方法来构建最短路径，一种办法是先计算最短路径的权重矩阵D，然后用D来构造前驱矩阵Π。

另外，我们可以计算矩阵 的同时计算前驱矩阵Π。具体来说，我们将计算一个矩阵序列 、 、… ,并且定义  为从节点i到k的一条所有中间结点都取自集合{1，2…k}的最短路径上的j的前驱结点。

这里可以推出 的一个递推式，当k=0时，从i到j的一条最短路径没有中间结点，因此

                                                  

对于k>=1,如果考虑路径i~k~j,这里k != j，则所选择的结点j的前驱与我们选择的从结点k到j的一条中间结点全部取自集合{1，2…k-1}的最短路径上的前驱相同。如果不含中间结点的话，所选择的结点j的前驱和所选择的从结点i到j的一条中间结点全部出自集合{1,2…k-1}的最短路径的前驱是一样的。因此有：

                                

这里，只要把矩阵Π带入到Floyd算法流程中，与矩阵D一同计算即可。