辗转相除法与拓展欧几里得算法

基础知识

对于两个整数 $x,y$ ，若 $\exists k\in \mathbb{Z}$ 使得 $xk=y$ ，则称 $x$ 整除 $y$ ，记作 $x\mid y$ 。

对于两个整数 $a,b$ ，若整数 $c$ 同时满足 $c\mid a$ 和 $c\mid b$ ，则称 $c$ 是 $a$ 和 $b$ 的公因数， $\max \{c\}$ 称为 $a,b$ 的最大公因数，记作 $\gcd (a,b)$ 。根据定义不难得出以下两个结论：

1. 若 $d$ 是 $a,b$ 的公因数，则 $d\mid \gcd (a,b)$ 。
2. $\gcd$ 运算满足交换律和结合律。

值得一提的是， $\gcd (0,0)$ 是不存在的，当然我们也可以人为定义 $\gcd (0,0)=0$ 。为不引起冗余的讨论，以下所有涉及 $\gcd (a,b)$ 的场景都有 $a\ne 0\vee b\ne 0$ 。

（ $\text{Beˊzout}$ 定理）对任意两个整数 $a,b$ ，设 $d=\gcd (a,b)$ 。那么关于未知数 $x,y$ 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）$$ax+by=m$$ 有整数解 $(x,y)$ 当且仅当 $d\mid m$ 。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

证明：

若 $a,b$ 中有一个为 $0$ ，不妨设 $a=0$ ，则原等式变为 $by=m$ 。该等式有整数解当且仅当 $b\mid m$ ，又 $\gcd (0,b)=b$ ，因此结论成立。

下面假设 $a,b$ 都不为 $0$ 。

设 $A=\{ax+by|x,y\in \mathbb{Z}\}$，设 $$d_0=a{x}_0+b{y}_0$$ 为 $A$ 中最小正元素。考虑 $A$ 中任意一个正元素 $$p=a{x}_1+b{y}_1$$ 设 $p$ 关于 $d_0$ 的带余除法为 $$p=q{d}_0+r$$ 其中 $q\in {\mathbb{N}}^{+},0⩽r<d_0$。则 $$\begin{array}{rl}r& =p-q{d}_0\\ & =a{x}_1+b{y}_1-q(a{x}_0+b{y}_0)\\ & =a(x_1-q{x}_0)+b(y_1-q{y}_0)\in A\end{array}$$ 由于 $d_0$ 是 $A$ 中最小正元素，而 $0⩽r<d_0$ ，因此 $r=0$ 。因此 $d_0|p,\forall p\in A\cap {\mathbb{N}}^{+}$ 。

由于 $A$ 中正负数可以建立一一对应（将 $p$ 中的 $x_1,y_1$ 分别取反即可），因此 $d_0\mid p,\forall p\in A$ 。特别的，$d_0\mid a,d_0\mid b$ ，因此 $d_0$ 是 $a$ 和 $b$ 的公约数。

另一方面，对 $a$ 和 $b$ 的任意正公约数 $d$ ，设 $a=kd,b=td$ ，其中 $k,t\in \mathbb{Z}$ ，那么 $$d_0=a{x}_0+b{y}_0=d(k{x}_0+t{y}_0)$$ 因此 $d\mid d_0$ 。所以 $d_0=\gcd (a,b)$ 。

在方程 $ax+by=m$ 中，如果 $m=m_0{d}_0$ ，那么方程显然有无穷多个解： $$\left\{\left(m_0{x}_0+k\frac{b}{d_0},m_0{y}_0-k\frac{a}{d_0}\right)\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$$ 其中 $x_0$ 和 $y_0$ 通常称为裴蜀等式的一组特解。

相反的，如果 $ax+by=m$ 有整数解，那么 $m\in A$ ，因此 $d_0|m$ 。证毕。

辗转相除法

该算法用来求解两整数 $a,b$ 的最大公因数，由欧几里得发明，所以也叫欧几里得算法。原理如下：

首先假设 $a=bq+r$ 和 $d=\gcd (a,b),d_1=\gcd (b,r)$ 。
一方面，因为有 $d\mid b$ 和 $d\mid r=a-bq$ ，因此 $d\mid d_1$ ；
另一方面，因为有 $d_1\mid b$ 和 $d_1\mid a=(a-bq)+bq$ ，因此 $d_1\mid d$ 。
由 $d_1\mid d$ 和 $d\mid d_1$ 得 $d=d_1$ ，即 $$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$ 利用这个结论，我们可以通过不断取模缩小 $a$ 和 $b$ 直到有一个数为 $0$。

C++的STL中定义了用辗转相除法求最大公因数的函数，函数名称__gcd，所在文件algorithm，源码如下：

template<typename _EuclideanRingElement>
	_EuclideanRingElement
	__gcd(_EuclideanRingElement __m, _EuclideanRingElement __n){
		while (__n != 0){
			_EuclideanRingElement __t = __m % __n;
			__m = __n;
			__n = __t;
		}
		return __m;
	}

我们也可以定义自己的gcd函数：

int gcd(int a, int b){return b ? gcd(b, a % b) : a;}

拓展欧几里得算法

该算法用来求不定方程 $ax+by=m$ 的一组特解。原理就是利用 $\text{Beˊzout}$ 定理和辗转相除法的思想：

首先，方程 $ax+by=m$ 有解的充要条件为 $\gcd (a,b)\mid m$ ，因此我们可以先求解方程 $ax+by=\gcd (a,b)$ 的解，再将解放大得到原解。

其次，假设 $x,y\in \mathbb{Z}$ 是方程 $$bx+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$ 的一组解，则 gcd ⁡ ( a , b ) = gcd ⁡ ( b , a   m o d   b ) = b x + ( a   m o d   b ) y = b x + ( a − b ⌊ a b ⌋ ) y = a y + b ( x − ⌊ a b ⌋ y ) \begin{aligned}&\gcd(a,b)\\=&\gcd(b,a\bmod b)\\=&bx+(a\bmod b)y\\=&bx+(a-b\lfloor\frac{a}{b}\rfloor)y\\=&ay+b(x-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y)\end{aligned} ====​gcd(a,b)gcd(b,amodb)bx+(amodb)ybx+(a−b⌊ba​⌋)yay+b(x−⌊ba​⌋y)​ 因此 $x^{\prime }=y,y^{\prime }=x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y$ 即为方程 $a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=\gcd (a,b)$ 的一组解。

利用这个结论，我们就可以像辗转相除法那样不断缩小 $a,b$ 来求原等式的解。因此该算法被认为是欧几里得算法的拓展，称为拓展欧几里得算法。

我们可以这样实现该算法：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
	if (b == 0) return x = 1, y = 0, a;
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

上述函数求出方程 $ax+by=\gcd (a,b)$ 的一组特解 $x_0,y_0$ ，并返回 $\gcd (a,b)$ 。