计算机组成与体系结构——运算方法

计算机组成与体系结构,第3章mooc学习

定点数

补码加、减法与溢出概念
现代计算机中都是使用补码做加减法运算的

1. 基本公式：公式如何证明呢?需要我们分情况进行考虑。
   ⑴ 补码加法的基本公式：
   (X_真值 + Y_真值)_补码=X_补码+Y_补码
   (2)补码减法的基本公式:
   (X_真值 - Y_真值)_补码=X_补码+(-Y)_补码
   运算器设计过程中，加法器既可以实现加法，又可以实现减法（上面公式一定要理解）
   例如，拿减法举个例子:
   
   求(-Y)_补码的技巧:对于求Y_补码,从右向左找到第一个"1",这第一个"1"前面的数全部取反

2. 溢出概念：
   运算过程中数据超出机器字长所能表示范围称为溢出。
   大概理解就是这样:如果机器字长只有8位,按2₈模的意义，如果两个数相加或相减之后位数为9位了，那么肯定会舍去最高位,也就是"1"或"0"自然丢掉,那么舍去最高位(溢出)可能会导致结果发生变化了，从而导致运算错误。
   例如：
   下面两张图中红色背景的字对应的运算发生了溢出。
   我们思考：不论是加法还是减法，只要实际参加操作的两个数符号相同，结果的符号又与之不同时，即为溢出。（看好是实际参加操作的两个数） 下面第二张图的溢出都是参加运算的两个数符号位相同，但由于运算过后舍去最高位，导致符号位发生变化，运算错误。

3. 溢出的检测方法:
   ①对操作数和运算结果的符号位检测
   
   ②利用最高数值位向符号位的进位值和符号位产生的进位值判断溢出
   怎么理解呢：因为溢出只有两种情况，即运算时的操作数符号位为0 0、1 1的时候所以我们就把这两种情况举出例子看一下就可以了，如下图
   举出例子可以发现，只要是C1和C0不相同，那么就会产生溢出，溢出标志为1，我们使用一个异或门就可以了

③双符号位判断溢出
用Zn和Zn+1表示结果的两个符号位
(在双符号位中，其实最左边第一位是符号位，其余均是数值位)

Zn+1Zn =00: 结果为正
Zn+1Zn =01: 正溢出 两个正数相加，也就是符号位都是0 0，相加之后符号位Zn变成1了，再加上前面Zn+1，为0 1，所以是正溢出了。
Zn+1Zn =10: 负溢出
Zn+1Zn =11：结果为负

判断溢出的逻辑表达式为：
V= Zn⊕Zn+1 Zn与Zn+1不同，产生溢出，使用一个异或门
注意：勿将补码运算过程中的取模与溢出混为一谈。取模丢弃数据位时不一定溢出，溢出时也不一定就丢弃了数据位（确实是的 要根据题分析！）
例如：红色箭头所指的地方就是溢出了，记住这个双符号位是用来我们进行溢出判断的


③无符号数溢出判断

原码一位乘法
这个比较简单：符号位单独参加运算，数据位取绝对值参加运算

1. 首先介绍移位操作及其意义
   左移：
   
   右移
   
   实现乘法运算有两种方式:
   ①硬件乘法器完成; ② 软件编程实现。
   掌握乘法运算方法不仅是设计乘法器的需要，对于乘法编程也有很大帮助。还需要加法器，所以我们想乘法也可由加法器实现
   <1>看一下这种方式：
   比如说b问题中的关于需要多输入全加器，右数第四列中0 0 1 0相加，就需要多输入的全加器
   
   <2>如何改进呢?
   
   分析一下：
   ①进行多次加 就是每次只加两个数 就不用使用多输入的全加器了
   ②针对乘数不同，部分积左移次数不同的问题，每次做完一次部分积，结果向右移动一位，但每次右移移出来那一位不能空了，所以我们可以把右移出来的那一位，移到乘数寄存器当中去，这样既把结果保留了，又把乘数向右推一位，这样带来的好处是我们永远只取最后一位去判断，部分积是加0还是加1
   ③最后结果明显看出来在部分积和乘数寄存器取结果
   例如：也比较容易理解，看一下下面这个例子。就是不断移位，在移位的过程中部分积不断加X或者加0
   

补码一位乘法
这个就相对比较复杂了，是有固定算法的，就不证明一下其算法的本质了。
1 证明方法(有兴趣可以看一下)：

2. 运算规则：使用定点整数Booth算法或者定点小数Booth算法 记住其固定的步骤就可以了
符号位是参加运算的

几个问题：(要好好理解这两句话)
① yn+1取0的话 整个数据位的位数发生变化的话，那它的整个值也可能发生变化 因此yn+1不应该改变Y的值,因此在乘数寄存器Y后增加一位，目的是为了使乘法能够按照规则进行
②右移部分积和乘数寄存器，用乘数寄存器来保留部分积右移过程中移出来的那一位有效积，同时我们还便于从乘数寄存器的最末尾去寻找部分积中是加[X]补，还*是-[X]补，还是0

定点小数Booth算法：补码小数Booth算法对于n位小数做n+1次加法，做n次右移
定点整数Booth算法：补码整数Booth算法对于n位整数做n+1次加法，做n+1次右移
举个复习题的例子，按照这个方法进行运算就可以了
（1）画了五条波浪线，也就意味着右移了5次=n(n为位数)，这是定点整数

（2）

补码加减、原码乘、补码乘 习题

1. 对于补码乘法，用Booth算法；对于无符号数乘法，直接手算就可以

解答：
（1）根据运算规则(X+Y)_补=X_补+Y_补=001010+111010=1000100=000100=+4
[没有溢出]
(X-Y)_补=X_补+ -Y_补=001010+000110=010000=+16
[也没有溢出 但是如果题目说5位机器数呢？那么第二问就溢出了]
（2）同样也是右移了n=6次，注意与布斯算法的不同点
3.
问题：求[A]补+[B]补和[X]补+ [Y]补运算完成后，CF、PF、AF、ZF、SF、OF的取值
[A]补+[B]补=01.10001000
[X]补+ [Y]补=00.00000000
根据8086寄存器各标志位进行判断即可
答案错了 看底下那张图判断

浮点数

一般意义 浮点数加减运算(先规格化！)

1. 基本思路：
   设两个浮点数为：X=Mx×2^Ex, Y=My×2^Ey,尾数Mx、My为规格化小数，用补码表示加粗样式；阶码Ex、Ey为整数，用移码或补码表示。阶底常选用2、8或16，下面以2为例进行讨论。（上面这都是不一定是这样表示的，只是通常意义）
   流程：
   对阶→尾数相加减 →规格化 →舍入操作 →溢出判断
   （1）对阶：使两个浮点数的阶码相等,ΔE=Ex-Ey:
   ΔE＞0: 将Ey+ΔE，My右移ΔE位；
   ΔE＜0:将Ex+｜ΔE｜,Mx 右移｜ΔE｜位； ΔE =0:不操作。（要理解这个操作）
   （2）尾数相加减：采用定点小数加减法
   （3）规格化：将运算后的尾数规格化处理。
   规则：
   尾数结果为：00.0×××××或11.1×××××时，需要左规格化，即将尾数向左移动(因为你想右移动永远没法移动到规格化的形式)，每移动一次，阶码减一，直到尾数形式位：00.1×××××或11.0×××××
   尾数结果为：01.×××××或10.×××××时，表明尾数求和的结果是大于1的，此时仅需执行一次右移进行规格化，阶码加一，直到尾数形式为：00.1×××××或11.0×××××
   ( 4 )舍入操作：右移规格化可能会造成低位数据位丢失）
   ①截断法:多余位去掉。此法简单，影响精度。
   ②置1法:如果1多余位去掉，最低位恒置“1”。
   ③0舍1入法:右移移出位是1的时候 最低位+1。
   思考一下使用0舍1入会产生多大的误差？
   （5）阶码溢出判断：最后需判断结果的正确性。通过检查阶码是否溢出来判断，因为浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的:（阶码代表着浮点数的表示范围）

若阶码上溢，则浮点数上溢，置溢出标志；（阶码符号位为01）
若阶码下溢，则将运算结果置为机器零。（阶码符号位为10）

2. 实际例子：

（1）
第三步，尾数少写了个0 ppt错误了
（2）

浮点数课后习题

补充一个知识点：浮点数的规格化解释，IEE754只是规格化浮点数的一个特例

整体思路：
需要将0.75 -65.25先分别表示成IEE754标准单精度的形式
0.75 IEE754格式为：
0 01111110 10000000000000000000000
-65.25 IEE754格式为：
1 10000101 00000101000000000000000
Ex=01111110
Mx=0(1).100…
Ey=10000101
My=1(1).00000101…
[其中最高位为数符，次高位为隐藏的1 可以看作是我们在此问题中规定的标准，之后在尾数相加减的过程中，这个规定一直存在！我是这么认为的]
（1）0.75+（-65.25）
①对阶：（注意也得用补码进行减法对阶）
▲Ex补=Ex补+（-Ey）补=-7
所以x阶码小，让阶码变大，尾数应该变小，右移7位。得到新的Ex Mx
②尾数相加
③规格化
④舍入：舍入后面两位
⑤溢出判断：看是否发生了阶码上溢或下溢问题
(2) 0.75-(-65.25)
①对阶：（注意也得用补码进行减法对阶）
▲Ex补=Ex补+（-Ey）补=-7
所以x阶码小，让阶码变大，尾数应该变小，右移7位。得到新的Ex Mx
②尾数相减
③规格化
④舍入
⑤溢出判断：看是否发生了阶码上溢或下溢问题

(1)简单的化简
(2)浮点数计算
对阶->运算->规格化（固定套路）
注意：表示X Y的时候位数尽量用双符号位表示，仅最高位代表符号。理解这做这个过程

End：

自己总结的大部分都是来自华中科技大学mooc