- 基础知识
- 注意
- 模板水题
- 维护序列
- 单点操作
- 区间操作
- 略有难度
- [ZJOI2006]书架
- [SCOI2014]方伯伯的OJ
- 写在最后
花了三周上午时间来啃平衡树。
从板子都不会写 到 独立完成黑题。
记录一下历程。
基础知识
P3369 【模板】普通平衡树
二叉搜索树
平衡树可以理解为二叉搜索树的高性能实现方式。
平衡树即为结构平衡的二叉搜索树。
Splay
通过不断将某节点旋转到根节点，使得整棵树仍满足二叉搜索树的性质。
且保持平衡不至于退化为链，以保证复杂度。
Treap
treap = tree + heap，是一种树和堆组合形成的数据结构。
treap 的每个节点上额外储存一个 关键值。
根据关键值调整 treap 结构，使其除满足二叉搜索树性质外，还满足父节点的关键值 \(\ge\) 儿子的关键值。
若关键值随机生成，则 treap 树高期望为 \(O(\log n)\)。
Fhq-Treap
又称无旋 treap, 是一种特殊的 treap。
以分裂和合并为核心。
其操作方式使它天生支持维护序列、可持久化等特性。
注意
一棵平衡树最重要的是它的结构。
只有结构才能反映 其维护的信息。
节点中携带的信息不一定都与其结构有关。
在实际应用时 一定要明确结构维护的信息。
模板水题
用于练习板子和刷AC数。
P1486 [NOI2004]郁闷的出纳员 查询第k大
P1801 黑匣子 查询最值
P2073 送花 查询最值
P2234 [HNOI2002]营业额统计 查询前驱后继
P2286 [HNOI2004]宠物收养场 查询前驱后继
P2343 宝石管理系统 查询最值
P3871 [TJOI2010]中位数 维护中位数 （查询指定排名）
P3850 [TJOI2007]书架 查询第k大
维护序列
平衡树结构 维护权值在序列中的排名。
则可使 中序遍历 = 原序列。
单点操作
一道水题 P3850 [TJOI2007]书架：
单点插入，查询指定排名元素。
现有一数列 1 9 2 6 0 8 1' 7
如图，图中节点上的数 为权值。
平衡树结构 维护权值在序列中的排名。
将平衡树中序遍历后 即可得原序列。
查询操作 即为基础的 查询第k大操作。
根据二叉树搜索树左小右大的性质 和 维护的子树大小可得答案。
- 若左子树非空 且 剩余排名 \(rank\) 不大于左子树的 Size，则向左子树查找。
- 否则将 \(rank\) 减去左子树的和 当前根的大小。
如果此时\(rank\)的值小于等于 0，则返回当前根节点的权值，否则继续向右子树查找。
将w插入至k位置，即将w置于 原排名为k的权值 的前面，成为它的前驱。
在平衡树中，即令w成为 原排名为k的权值为根的子树 左子树中最右的结点。
若使用Fhq-Treap，直接按子树大小分裂即可。
代码详见 P3850 [TJOI2007]书架 - Luckyblock。
区间操作
P3391 【模板】文艺平衡树 区间翻转
使被操作序列置于一棵完整的子树中。
通过在 子树根打标记实现区间操作。
Splay 和 Treap 将序列旋转至一棵子树中，
Fhq-Treap 将序列分裂至一棵子树中。
代码详见 P3391 【模板】文艺平衡树 - Luckyblock。
略有难度
[ZJOI2006]书架
给定一书列，从 \(1\sim n\) 依次编号。
给定下列五种操作 :
\(\text{Top}\ S\) ：将编号S的书 放在最上面。
\(\text{Bottom}\ S\) ：将编号S的书 放在最下面。
\(\text{Insert}\ S\ T，T\in[-1,1]\)：将编号为S的书 与 编号为S+T的书交换位置。
\(\text{Ask}\ S\) ：询问编号为S的书的排名。
\(\text{Query}\ S\)：询问排名为S的书的编号。
\(n,m \le 80000\)
乍一眼看上去和 水题 P3850 [TJOI2007]书架 神似。
但水题只有排名和书名的单向查询，本题有排名和编号的双向查询，以及奇怪的修改操作。
则可选择建立映射关系：
每一本书 都对应 一个节点。
节点信息中储存 书的编号。
position[i] 维护 编号为 i 的书 对应的的节点编号。
同 [TJOI2007]书架，平衡树结构 维护在序列中的排名。
对于两种查询操作：
- 查询排名：将编号为 S 的书 对应的的节点旋转至根，输出其左子树大小。
- 查询权值：经典查询第k大操作。
置顶操作
- 可将原序列分为三份：[1,S-1], [S], [S+1,n]。
手玩后发现，置顶S即将原序列变为 [S], [1,S-1], [S+1,n]。
[1, S-1] 与 [S+1,n] 内部排列顺序不变。 - 由此考虑置顶S后 树的结构的变化。
将 S 旋转至根，则其左子树为 [1, S-1] ，右子树为[S + 1, n]。
由[1, S-1] 与 [S+1,n] 内部排列顺序不变，则左右子树内部结构不变，可将其看作两节点。
\(\Longrightarrow\)
显然可以通过 将[1,S-1] 变为 [S+1,n] 的左子树，来实现[S]的置顶。 - 再将 [1,S-1] 与 [S+1,n] 看作两子树。
可使[1, S-1] 成为[S+1, n] 中排名最小的节点 (即最左的节点) 的左子树。
-此操作只改变平衡树结构，不改变 包括position的各种维护的信息。
置底操作
- 原理与置顶操作相同。
将S旋转至根，使右子树成为 左子树中最右节点 即可。
相邻元素交换操作
- 直接与该元素的前驱/后继交换 位置及信息。
注意更新 poistion 的值。
代码详见 P2596 [ZJOI2006]书架 - Luckyblock。
[SCOI2014]方伯伯的OJ
给定一初始长度为n的序列，其中元素从 \(1\sim n\) 依次编号。
给定下列五种操作 :
\(\text{1}\ x\ y\) ：将编号为x的元素 编号改为 y，输出该元素在序列中的排名。
\(\text{2}\ x\) ：将编号x的元素 置顶，输出执行该操作前编号为x元素的排名。
\(\text{3}\ x\) ：将编号x的元素 置底，，输出执行该操作前编号为x元素的排名。
\(\text{4}\ x\)：询问排名为x的元素的编号。
强制在线
\(1\le n\le 10^8, 1\le m \le 10^5, 1 \le y \le 2 \times 10^8\)
？这和上一道不是一个题
？怎么就变成黑题了
！看我秒切黑题
\(\text{Memory Limit Exceeded}\)
请勿混淆 排名，编号，节点编号 三者的概念。
排名 为 某序列元素 在 序列中的次序。
编号/元素编号 意义与题面中"编号"意义相同，为 某序列元素被标记的号码。
节点编号 为 某平衡树节点 的 node_num，在插入新节点时被赋予，恒定不变。
基本思想
-
与 上题 [ZJOI2006]书架 一致，均是建立映射关系，维护元素编号 对应的 节点编号。
但数据范围巨大，不可直接套用做法。 -
发现有许多元素根本访问不到，考虑动态开点，
将一个连续的区间 压缩成一个节点。
struct SplayNode {
int son[2], fa, size, cnt; //cnt区间长度
int l, r; //l,r 为区间左右端点。
-
形态如下，中序遍历仍然是原序列。
-
开两棵动态开点平衡树。
- 一棵平衡树 t 用于查询排名，回答询问。
压缩 元素编号。
其结构 维护在序列中的排名。
其中序遍历 即为给定序列。 - 一棵平衡树 t1 用于建立 元素编号与 t中节点编号 的映射关系。
其结构 维护元素编号， 其中序遍历 必为 1~ n。
节点储存 其压缩的元素编号 在 t 中的节点编号。
- 一棵平衡树 t 用于查询排名，回答询问。
操作1
-
如果被操作节点还在 一区间节点中，将其在两棵树中都分裂出来。
$\Longrightarrow$
-
先在 t1 中找到 x 在 t 中对应的节点编号。
回到 t 中，将对应节点的 l，r值替换为 y。 -
将 编号x在 t1中对应节点删除，插入编号y的新节点。 使新节点与原节点 t1中节点编号一致。
注意维护结构，保证中序遍历不变。 -
查询排名时，将t中对应节点旋转至根。
输出其左子树大小 + 1。
操作 2,3
-
先分裂出对应节点，在t中将其旋转至根。
需要输出的查询排名 即为 左子树大小 + 1。 -
操作方式与 上题相同。操作2将左子树挂到右子树最左侧。 操作3将右子树挂到左子树最右侧。
-
注意特判 根有无左右子树。
操作 4
- 经典查询 第k大值操作。
直接在 t 中按照排名查询即可。
注
- 具体分裂方式 详见代码。
- t1 功能单一可使用map替代，详见锣鼓题解。
太懒了就没写。
代码详见 P3285 [SCOI2014]方伯伯的OJ - Luckyblock。
