P1295 [TJOI2011]书架

知识点: 线段树优化DP

原题面

双倍经验 P1848 [USACO12OPEN]Bookshelf G。
这边有 dalao 的神仙题解。

？我一开始为什么要写二维 DP

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题意简述

给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(h\)。
将 \(h\) 分成若干段，满足每段数字之和都不超过 \(m\)。
最小化每段的最大值之和。
\(1\le n\le 10^5, 1\le h_i\le 10^9\)

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分析题意

有个非常显然的 DP ：
设 \(f_i\) 表示，已经分好 \(i\) 个数字的最小代价。
转移时枚举这一段的开头 \(k\)，将 \([k,i]\) 作为新的一段，则有：

\[f_i = \min\{f_{k-1} +\max_{j=k}^{i}h_j\}\ (\sum_{k}^{i}h_i\le m) \]

暴力 DP 复杂度 \(O(n^2)\)，期望得分 \(30\text{pts}\)。
实际上能水 \(50\text{pts}\)（大雾

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考虑优化。

显然，对于一个给定的 \(i\)，当 \(k\) 单增时，\(\max\limits_{j=k}^{i}h_j\) 单调不增，\(f_{k-1}\) 单调不降。
当枚举到 \(i\) 时，\(f_{k-1}\) 不会再改变，考虑 \(h_i\) 对 \(\max\limits_{j=k}^{i}h_j\) 的影响。

如图，设 \(i\) 左侧第一个满足 \(h > h_i\) 的位置为 \(pre_i\)，显然 \(\max\limits_{j=k}^{i}h_j(k> pre_i)\) 都会变为 \(h_i\)。

\(\max\limits_{j=k}^{i}h_j\) 可用支持区间赋值的数据结构进行维护，转移 \(f_i\) 时，需要进行区间查询。
考虑线段树。

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线段树维护位置 \(k\) 的 \(f_{k-1}\) 和 \(f_k+\max\limits_{j=k}^{i} h_j\)。
当枚举到一个新的 \(h_i\) 时：

1. 单点修改，更新位置 \(k=i\) 时的 \(f_{k-1}\)。
2. 根据 \(h_i\) 更新区间 \([pre_{i}+1,i]\) 的 \(f_k+\max\limits_{j=k+1}^{i} h_j\)。
3. 二分得到 第一个不满足 \(\sum\limits_{k}^{i}h_i\le m\) 的位置 \(l\)，则 \(k\in [l+1,i]\)。
4. 查询 \([l+1,i]\) 中最小的 \(f_{k-1} + \max\limits_{j=k}^{i}h_j\)。

复杂度 \(O(n\log n)\)，期望得分 \(100\text{pts}\)。

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代码实现

//知识点: 线段树优化DP
/*
By:Luckyblock
*/
#include 
#include 
#include 
#include 
#define ll long long
#define ls (now<<1)
#define rs (now<<1|1)
const int kMaxn = 1e5 + 10;
const ll kInf = 1e12 + 2077;
//=============================================================
struct SegmentTree {
  int L, R;
  ll f, ans, tag;
} t[kMaxn << 2];
ll n, m, h[kMaxn], w[kMaxn], sum[kMaxn], pre[kMaxn], f[kMaxn];
ll top, sta[kMaxn];
//=============================================================
inline ll read() {
  ll f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void Pushup(int now) {
  t[now].f = std :: min(t[ls].f, t[rs].f);
  t[now].ans = std :: min(t[ls].ans, t[rs].ans);
}
void Pushdown(int now) {
  t[ls].ans = t[ls].f + t[now].tag;
  t[rs].ans = t[rs].f + t[now].tag;
  t[ls].tag = t[rs].tag = t[now].tag;
  t[now].tag = kInf;
}
void Build(int now, int L, int R) {
  t[now].L = L, t[now].R = R;
  if (L == R) {
    t[now].f = t[now].ans = t[now].tag = kInf;
    return ;
  }
  int mid = (L + R) >> 1;
  Build(ls, L, mid), Build(rs, mid + 1, R);
  Pushup(now);
}
ll Query(int now, int L, int R) {
  if (L <= t[now].L && t[now].R <= R) return t[now].ans;
  if (t[now].tag != kInf) Pushdown(now); 
  int mid = (t[now].L + t[now].R) >> 1;
  ll ret = kInf;
  if (L <= mid) ret = std :: min(ret, Query(ls, L, R));
  if (R > mid) ret = std :: min(ret, Query(rs, L, R));
  return ret;
}
void Update(int now, int L, int R, ll val) {
  if (L <= t[now].L && t[now].R <= R) {
    t[now].ans = t[now].f + val;
    t[now].tag = val;
    return ;
  }
  if (t[now].tag != kInf) Pushdown(now);
  int mid = (t[now].L + t[now].R) >> 1;
  if (L <= mid) Update(ls, L, R, val);
  if (R > mid) Update(rs, L, R, val);
  Pushup(now);
}
void Modify(int now, int pos) {
  if (t[now].L == t[now].R) {
    t[now].ans = kInf;
    t[now].f = f[pos - 1];
    return ;
  }
  if (t[now].tag != kInf) Pushdown(now);
  int mid = (t[now].L + t[now].R) >> 1;
  if (pos <= mid) Modify(ls, pos);
  else Modify(rs, pos);
  Pushup(now);
}
void Prepare() {
  n = read(), m = read();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    h[i] = read();
    sum[i] = sum[i - 1] + h[i];
  }

  sta[++ top] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++ i) {
    while (top && h[sta[top]] < h[i]) top --;
    if (top) pre[i] = sta[top];
    sta[++ top] = i;
  }
  Build(1, 1, n);
}
//=============================================================
int main() {
  Prepare();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    Modify(1, i);
    if (pre[i] < i) Update(1, pre[i] + 1, i, h[i]);
    int l = std ::lower_bound(sum, sum + i + 1, sum[i] - m) - sum;
    if (l < i) f[i] = Query(1, l + 1, i);
  }
  printf("%lld", f[n]);
  return 0;
}