变分法与最速降线问题

本文主要参考变分法及其应用.

在诸多优化问题中，优化的变量是一个函数，也就是说需要找到一个函数，使得某个特定的目标最小。

固体力学中的最小势能原理

处于平衡状态的弹性体，真实位移场使得系统总势能取最小值。

基于势能原理，也发展出了固体力学中的变分解法，也就是求出使得总势能最小的位移场，该位移就是真实的位移解答。

同样变分法也可以用于最优控制中，求取控制律，使得系统系统的性能指标最优，而控制律通常是时间的函数。

1. 泛函

泛函其实是挺难理解的概念，首先看微积分中函数的概念。

定义在实数域$R$上的一元函数$y=f(x)$,值域也是实数集$R$，实际上是定义了一种映射关系$f$，$f:R\to R$。

而泛函的定义域并不是数集，而是函数集。

假设函数集合$C$，$\forall y\in C$,$y$的定义域为$[x_0,x_1]$，$y$都为可微函数，且

$$y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1\text{\hspace{1em}(1)}$$

也就是说函数几何$C$中的元素均为平面上从点$A(x_0,y_0)$到点$B(x_1,y_1)$的光滑曲线。

这里讨论泛函$J(y)$的定义域就是函数集合$C$，其值域是实数集$R$。泛函$J(y)$同样定义了一种映射关系$J:C\to R$。一般泛函可以用积分式表示：

$$J[y(x)]={\int }_a^{b}F(x,y,y^{\prime })\text{d}x\text{\hspace{1em}(2)}$$

2. 泛函变分

函数$y=f(x)$的微分$dy$指的是由于自变量$x\to x+dx$所引起的因变量$y$的变化量$dy=f(x+dx)-f(x)$。

而泛函$J[y(x)]$的变分$\delta J$指的是由于自变量$y\to y+\delta y$所引起的因变量$J$的变化$\delta J=J[y+\delta y]-J[y]$。

当$y\to y+\delta y$时，利用多元函数的一阶Taylor展开

$$F(x,y+\delta y,y^{\prime }+\delta y^{\prime })=F(x,y,y^{\prime })+\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\delta y^{\prime }\text{\hspace{1em}(3)}$$

因此，泛函$\delta J$可以表为

$$\delta J={\int }_a^b\left[\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\delta y^{\prime }\right]\text{d}x\text{\hspace{1em}(4)}$$

3. 泛函极值

函数$y=f(x)$取在$x=x_0$处取极值的必要条件是

$$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}=0$$

泛函$J[y(x)]$取极值的必要条件是

$$\delta J=0\text{\hspace{1em}(5)}$$

$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=0\text{\hspace{1em}(6)}$$

下面证明上述必要条件，证明过程很长，并且有点不严谨。

理论上$\delta y$是任意小的函数，可以取$\delta y=\epsilon \phi (x)$，$\epsilon$是任意小的实数，$\phi (x)$为可微函数，并满足

$$\phi (a)=0,\phi (b)=0\text{\hspace{1em}(7)}$$

这样函数$J[y(x)+\epsilon \phi (x)]$是$\epsilon$的函数，在$\epsilon =0$处取得极值。因此有

$$\frac{\text{d}}{\text{d}\epsilon }\left(J[y(x)+\epsilon \phi (x)]\right){|}_{\epsilon =0}=0\text{\hspace{1em}(8)}$$

参考式(3)有

$$J[y(x)+\epsilon \phi (x)]=J[y(x)]+{\int }_a^b\left[\frac{\partial F}{\partial y}\epsilon \phi (x)+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\epsilon {\phi }^{\prime }(x)\right]\text{d}x\text{\hspace{1em}(9)}$$

将式(9)带入式(8)中，

$$\frac{\text{d}}{\text{d}\epsilon }\left(J[y(x)+\epsilon \phi (x)]\right){|}_{\epsilon =0}={\int }_a^b\left[\frac{\partial F}{\partial y}\phi (x)+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{\phi }^{\prime }(x)\right]\text{d}x=0\text{\hspace{1em}(10)}$$

再以$\epsilon$乘以上式有

$${\int }_a^b\left[\frac{\partial F}{\partial y}\epsilon \phi (x)+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\epsilon {\phi }^{\prime }(x)\right]\text{d}x=0={\int }_a^b\left[\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\delta y^{\prime }\right]\text{d}x=\delta J=0\text{\hspace{1em}(11)}$$

这就证明了泛函取极值的必要条件是其变分为零，下面再证另一个条件。

对式(10)应用分部积分

$$\begin{gathered} 0={\int }_a^b\left[\frac{\partial F}{\partial y}\phi (x)+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{\phi }^{\prime }(x)\right]\text{d}x \\ ={\int }_a^b\frac{\partial F}{\partial y}\phi (x)\text{d}x+{\int }_a^b\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\text{d}\phi (x) \\ ={\int }_a^b\frac{\partial F}{\partial y}\phi (x)\text{d}x+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\phi (x){|}_{x=a}^{x=b}-{\int }_a^b\phi (x)\text{d}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\text{\hspace{1em}(12)} \end{gathered}$$

考虑到式(7)，上式可以进一步简化为

$$\begin{gathered} {\int }_a^b\frac{\partial F}{\partial y}\phi (x)\text{d}x-{\int }_a^b\phi (x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\text{d}x=0 \\ {\int }_a^b\phi (x)\left[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\right]\text{d}x=0\text{\hspace{1em}(13)} \end{gathered}$$

考虑到$\phi (x)$的任意性

$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=0\text{\hspace{1em}(14)}$$
即证明泛函极值的第二个必要条件，上式又被称为欧拉-拉格朗日条件（E-L条件）。

4. 最速降线

如下图所示，最速降线问题指的是平面上两点$A(0,0),B(p,q)$，一个质点$m$沿着那条曲线无摩擦的下降时，时间最短。y轴正方向向下。

无摩擦，重力势能全部转化为动能

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}m{v}^2=mgy \\ v=\sqrt{2gy}\text{\hspace{1em}(15)} \end{gathered}$$

弧长微元$\text{d}s$与时间微元$\text{d}t$存在关系

$$v=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}\text{\hspace{1em}(16)}$$

弧长微元$\text{d}s$可以表为

$$\text{d}s=\sqrt{1+y^{\prime }{}^2}\text{d}x\text{\hspace{1em}(17)}$$

综合式(14)(15)(16)时间微元可以表为

$$dt=\frac{\text{d}s}{v}=\sqrt{\frac{1+y^{\prime }{}^2}{2gy}}\text{d}x\text{\hspace{1em}(18)}$$

从点A到点B的下降时间$t$可以积分得到

$$t={\int }_0^{p}dt={\int }_0^p\sqrt{\frac{1+y^{\prime }{}^2}{2gy}}\text{d}x\text{\hspace{1em}(19)}$$

下降时间$t$是曲线$y=y(x)$的泛函，最速降线就是$t(y)$的极值。因此最速降线必然满足泛函极值的必要条件。

此处$F(y,y^{\prime })=\sqrt{\frac{1+y^{\prime }{}^2}{2gy}}$，须满足E-L条件即式(13)。

又

$$\begin{gathered} \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(F(y,y^{\prime })-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right) \\ =\frac{\partial F}{\partial y}{y}^{\prime }+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{y}^{\prime \prime }-y^{\prime \prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}-y^{\prime }\frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }} \\ =y^{\prime }\left[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\right]=0\text{\hspace{1em}(20)} \end{gathered}$$

因此，

$$F(y,y^{\prime })-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=C\text{\hspace{1em}(21)}$$

将$F(y,y^{\prime })$代入上式

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1+y^{\prime }{}^2}{2gy}}-y^{\prime }\frac{y^{\prime }}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y^{\prime }{}^2}}=C \\ \frac{1}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y^{\prime }{}^2}}=C \\ y(1+y^{\prime }{}^2)=\frac{1}{2g{C}^2}\text{\hspace{1em}(22)} \end{gathered}$$

令$2g{C}^2=2r$,

$$y(1+y^{\prime }{}^2)=2r\text{\hspace{1em}(23)}$$

为了解出$y=y(x)$，再引入参数代换。令

$$y^{\prime }=\cot \frac{\theta }{2}\text{\hspace{1em}(24)}$$

因为

$$\frac{1}{1+{\cot }^2\theta }=\frac{1}{1+\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }}=\frac{si{n}^2\theta }{si{n}^2\theta +{\cos }^2\theta }=si{n}^2\theta \text{\hspace{1em}(25)}$$

所以

$$y=2rsi{n}^2\frac{\theta }{2}=r(1-cos\theta )\text{\hspace{1em}(26)}$$

为了解出$x=x(\theta )$，将上式对$\theta$求导数

$$y^{\prime }\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta }=r\sin \theta \text{\hspace{1em}(27)}$$

即

$$\begin{gathered} cot\frac{\theta }{2}\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta }=r\sin \theta \\ \frac{\text{d}x}{\text{d}\theta }=r\frac{\sin \theta }{cot\frac{\theta }{2}}=r\frac{\sin \theta sin\frac{\theta }{2}}{cos\frac{\theta }{2}}=r\frac{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}sin\frac{\theta }{2}}{cos\frac{\theta }{2}} \\ =2r{\sin }^2\frac{\theta }{2}=r(1-cos\theta )\text{\hspace{1em}(28)} \end{gathered}$$

积分之有

$$x=r(\theta -\sin \theta )+C_0\text{\hspace{1em}(29)}$$

将边界条件代入式(29)中，可以确定出常数$C_0=0,r$，综上

$$\{\begin{array}{l}x=r(\theta -\sin \theta )\\ y=r(1-cos\theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(30)}$$

最速降线不是一段圆弧，而是一段圆周运动产生的摆线。据传牛顿用动力学的方法巧妙地得出了最速降线。