计量经济学复习笔记（1）

考研炸了，期末考不能炸！！！对付拖延症的最好方法就是找一个push的压力

每天两更！4天攻下计量！

首先我们首先要明白几个公式
假设A和B均为独立变量则有

E(X+Y)=E(X)+E(Y) 

E(nX)=nE(X) 

D(X+Y)=D(X)+(Y) 

D(nX)=n 2 D(X) 

D(X)=EX 2 −(EX) 2  

这是最基本的
之后是几个常见的统计分布

一）正态分布

正态分布是最常见的分布
其概率密度公式为

f(x)=12πσ 2  − − − −  √  exp(−(x−μ) 2 2σ 2  ) 

计作 x∼N(μ,σ)  即x服从 期望为 μ  ,方差为 σ  的分布
其中 exp(x)=e x  
其计算则是根据poisson积分

∫ +∞ −∞ e −x 2  dx=π  √  

可以推出其概率分布函数计作 Φ(x)  且 Φ(x)| +∞ −∞ =1 

以上都是扯淡—————————————-
最重要的是 :我们将期望 μ=0  方差 σ=1  的分布记为标准正态分布
关键!!!@!@

X−μσ ∼N(0,1) 

二） χ 2   分布

χ 2   分布是由正态分布而来，首要定义是：假设 X i   (i = 1,2,3…n)满足期望为0，方差为 σ  的正态分布， 即 X i ∼N(μ,σ)  ,
则我们称 ∑ n i=1 X 2 i   服从自由度为n的 χ 2   分布记作：

∑ i=1 n Xi 2 ∼χ 2 (n) 

χ 2   分布 期望为n,方差为2n

三)T分布
根据以上两个分布,又推出一个新的分布如果有 Z 1 ∼N(0,1)  , Z 2 ∼χ 2 (k)  则有

t=Z 1 Z 2 /k − − − −  √   

服从自由度为k的T分布
书上记为 t k  

T分布均值为0， 方差为 kk−2  
四）F分布
如果有 Z 1 ∼χ 2 (n),Z 2 ∼χ2(k)  ，则有

Z=Z 1 /k 1 Z 2 /k  

服从第一自由度为n，第二自由度为k的F分布
记作

Z∼F(k 1 ,k 2 ) 

**F分布均值为 k 2 k 2 −2 ,k 2 >2 
同时 t 2 k =F 1,k  

然后是样本均值和样本方差

样本均值我们记作 X ¯ =1n ∑ n i=0 X i   值得注意的是，这里的每个 X i   均为独立变量。
然后我们就有 E(X ¯ )=E(X)=μ 
还有一个令人比较困惑的是样本方差的问题
我们假定在估计一个统计分布时，我们已经得知了其分布期望为 μ 
则易得

1n E(∑ i=1 n (X i −μ) 2 )=σ 2  

我们由之前的定义计算样本方差时有

E(∑ i=1 n (X i −X ¯ ) 2 )=E(∑ i=1 n (X i −μ+μ−X ¯ ) 2 )=E(∑ i=1 n ((X i −μ)−(X ¯ −μ)) 2 )=E(∑ i=1 n ((X i −μ) 2 −2(X i −μ)(X ¯ −μ）+(X ¯ −μ) 2 )) 

所以该式拆分得

E(∑ i=1 n (X i −μ) 2 )−E((X ¯ −μ)∑ i=1 n 2（X i −μ))+E(∑ i=1 n (X ¯ −μ) 2 ) 

=E(∑ i=1 n (X i −μ) 2 )−E((X ¯ −μ)∑ i=1 n 2（X ¯ −μ))+E(∑ i=1 n (X ¯ −μ) 2 ) 

=nVar(X)−2nVar(X ¯ )+nVar(X ¯ ) 

=nVar(X)−nVar(X ¯ ) 

由于 Var(X ¯ )=1n Var(X)  所以有

E(∑ i=1 n (X i −X ¯ ) 2 )=nVar(X)−nVar(X ¯ )=(n−1)σ 2  

因此我们必须使用

S 2 =1n−1 ∑ i=1 n (X i −X ¯ ) 2  

来估计无偏估计量
PS：所以呢，当我们知道分布期望 μ  时， S 0 =1n ∑ n i=1 (X i −μ) 2   才是无偏估计，因为 μ  是一个定值， 而 X ¯ 只是在本次取样中是一个定值 

To be continue…