2019牛客多校赛 第九场 I KM and M（贡献 + 组合计数）

 

 

大致题意：告诉你一个n和m，让你求。

涉及到位运算的东西，很容易想到计算贡献，这里也是一样。因为最后按位与的是一个常数，所以只需要看这个常数对应为1的位置，在M、2M、3M...NM这N个数字中，有多少个仍然是1。用个数乘以对应位的2的幂次即可。

那么现在问题变成了如何求这个个数。我们考虑对于一个数字iM，如果求它二进制下第j位是否是0。显然，我们可以先把iM右移j位得到x，然后再把iM右移j+1位得到y，再把y左移1位得到z，z-x的值即为iM第j位的数值。而这个过程，就相当于iM除以2的j次方减去iM除以2的j次方的两倍。而我们的iM有多个，是一个公差为M的等差数列。这样我们就只需要能够快速求等差数列除以某个常数向下取整的数值。

这个问题我们可以分为两个部分。第一部分，当除数大于公差时，我们考虑先计算出最后一项除以除数的数值。然后把所有数字都当作最后一项求出一个和，再把多算的部分，也即每一项与最后一项的差减去。你会发现，这个每一项与最后一项的差在可以写成另外一个等差数列除以常数向下取整的数值。这个等差数列公差为之前的除数，新的除数为之前的公差。那么我们递归计算即可。

第二部分，当除数小于公差时，假设公差为d，除数为c，考虑把公差分为k*c+d%c，如此可以把一个等差数列拆成两个。其中一个公差为c，另一个公差为d%c。对于前者，在除以c之后相当于是一个公差为1的等差数列求和，直接计算即可。对于后者，回到了第一部分，除数大于公差的清空。最后用前者答案的k倍乘再加上后者答案即可。

具体见代码：

#include
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll
#define eps 1e-4
#define pi 3.141592653589793
#define P 1000000007
#define LL long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define cl clear
#define si size
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define bug(x) cerr<<#x<<"      :   "<=c||b>=c){
        x=cal(a%c,b%c,c,n);
        y=((a/c)%mod*(n%mod)%mod*((n+1)%mod)%mod*inv2+b/c%mod*((n+1)%mod)+x)%mod;
        y=(y+mod)%mod;
        return y;
    }
    LL m=((__int128)a*n+b)/c;
    x=cal(c,c-b-1,a,m-1);
    y=((__int128)n*m-x)%mod;
    y=(y+mod)%mod;
    return y;
}
 
int main(){
    long long n,m,ans=0;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<40;i++)
        if (m&(1ll<