《图像处理、分析与机器视觉 第四版》 图像积分线性变换1——学习笔记

积分线性变换

在图像处理中经常使用积分线性变换。使用这种变换时，图像被当作线性（矢量） 空间米处理。常使用图像函数的两个基本表达：空域 （spatial domain） 和频域 （frequency domain) （频谱）。在后一种情况下，图像表达为某种积分线性变换的 一组基函数的线性组合。高级的信号／图像处理超越了线性运算，这些非线性处理技术主要用于空域中。

作为线性系统的图像

算子是从一个矢量空间到另一个矢量空间的映射。

上式常用于图像预处理中表示平滑和锐化的处理。

事实上实际的图像并不是线性的，图像坐标和图像函数的数值（亮度〉都是有限的，认识这一点是很重要的。实际的图像总是有限大小的，亮度的级别数也是有限的。尽管如此，在很多情况F图像可以用线性系统来近似。

积分线性变换引言

积分线性变换提供了一个工具，可以将信号和图像在更合适的域来表达，是的信息可实时性更好且解决县官问题更容易。在图像分析中最常用的积分线性变换是傅里叶变换、余弦变换和小波变换。

在图像处理中积分线性变换通常的应用是图像滤波，该词来源于信号处理→一输入图像经某滤波器处理后获得输出图像。滤波既可以在空域也可以在频域进行，如图3.1所示。在频域，滤波可以看作增强或减弱特定频率。

1D傅里叶变换

①傅立叶变换

②傅立叶逆变换


数字信号（包括图像）的傅里叶变换总是存在的，因为它们是有限的且具有有限个不连续点。

傅里叶变换显示出可以预见的对称性。



测不准原理（uncertainty principle） 指出：不可能存在时域和频域都可以任意窄的信号。

短时傅里叶变换（short “me Fourier transformation) - STFT一最初是Gabor 在1946年提出的。STFT己经在很多领域中使用，例如语音识别。不幸的是，仅仅使用｜在重叠矩形窗口来切割信号并不好，因为会引进不连续性而导致有大带宽的频域。这就是为什么信号在局 部窗口的边缘上要用诸如高斯或海明（Hamming）窗平滑抑制到零的原因。任何信号处理教材都会更细致地 阐述关于开窗的问题。

傅里叶谱反映了信号的全局性质（作 为信号变化速度的信息）， 但是它并不揭示这样的变化发生在哪个瞬间。时域精确地表达了某个瞬间发生什么，但并不反映信号的全局性质。要想少许兼顾两者，即全局频率性质和定位性，有两种途径。第一种是STFT，第二种是使用积分线性变换中的不像正弦和余弦那么规范的不同基函数。 小波变换是是一个例子。

计算机处理的是离散信号：

计算复杂度 问题是离散傅里叶变换必须要处理的问题。

DFT的时间复杂度是O(N*N)
FFT的时间复杂度为O( MNlog(M*N) )

2D傅里叶变换

2D傅里叶变换句（2D Fourier transform）也使用谐波的数来分解谱。

图片来源：知乎@阿姆斯特朗
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二维傅里叶变换公式：

逆变换：


2D傅里叶变换的结果是 一个复值的2D谱。

在图像分析中使用傅里叶变换是很普遍的。它在噪声滤波起帮助作用， 通过确定罔像函数中高频（急剧的变化）部分是如何可以有助于边缘检测的；在以下方面也有应用：将图像从退化中复原过来，利用卷积定理进行快速匹配，边界特性描述， 图像压缩〉，以及若干领域。

采样与香农约束

有了对傅里叶变换的理解，我们可以更全面地讨论采样问题。一个连续的图像函数f(x,y）可以用平面上离散的栅格点来采样。

香农采样定理

香农采样定理，又称奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。1924年奈奎斯特(Nyquist)就推导出在理想低通信道的最高大码元传输速率的公式：理想低通信道的最高大码元传输速率B=2W，信息传输速率C=B*log2N 。（其中W是理想低通信道的带宽，N是电平强度）

在图像分析中该定理的一个简单物理解释就是：设已知图像中感兴趣的最小细节的尺寸，采样间隔应该比它的一半要小。

在实际的数字转换器中采样函数不是狄拉克分布，而是有限冲击函数（幅度有限的很窄信号）。

在实际的图像数字转换器中，采样间隔比香农采样定理所确定的值的1/10还要小。原因在于将数字化图像的数在显示器上重构为连续图像的算法仅使用的是阶跃函数，即线条是由表达为方块的像索形成的。

根据奈奎斯特采样定律，对模拟信号采样时，采样频率要是信号带宽的两倍以上，才可能恢复出原信号，如果低于信号带宽的两倍，信号的频谱会产生混迭。
实际的信号往往具有无限带宽，这时常采用低通（或带通）滤波器将信号的频谱限制在一定范围内，再依奈奎斯特采样定律对其采样，就不会产生混迭，也就是低通滤波器的反混迭作用