洛谷 P1439 【模板】最长公共子序列（DP，LIS？）

题目描述

给出1-n的两个排列P1和P2，求它们的最长公共子序列。

输入输出格式

输入格式：

第一行是一个数n，

接下来两行，每行为n个数，为自然数1-n的一个排列。

输出格式：

一个数，即最长公共子序列的长度

输入输出样例

输入样例#1：

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

输出样例#1：

3

说明

【数据规模】

对于50%的数据，n≤1000

对于100%的数据，n≤100000

Solve

首先，来看一下$N^2$的算法：
$$dp[i][j]=\{\begin{array}{rcl}max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1)& & a[i]==b[j]\\ max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])& & a[i]!=b[j]\end{array}$$
$dp[i][j]$代表$a$数组的前$i$位与$b$数组的前$j$位的最长公共子序列的长度

$dp[0][0]=(a[0]==b[0])$

用这个方法来写，对于$10^5$的数据来说，时间和空间都是不够用的

---

题中已经说明了：两个数组均是1-n的排列，即：两个数组的元素是相同的，只是元素所在的位置不同。那么，两个数组的公共子序列中的元素在两个数组中的相对位置是一样的

如果按照下标给第一个数组的元素赋予新的值（按照升序），

例如：$a=\{3,1,2,4,5\};b=\{1,3,2,4,5\}$

old	3	1	2	4	5
new	0	1	2	3	4

对$a$进行处理后的数组为$\{0,1,2,3,4\}$

用在$a$中创建的映射关系，将$b$中的元素替换：

old	1	3	2	4	5
new	1	0	2	3	4

得到的新的$b$数组为：$\{1,0,2,3,4\}$

我们可以发现：新的$b$数组的最长上升子序列即为原两个数组的最长公共子序列

Code

/*************************************************************************

	 > Author: WZY
	 > School: HPU
	 > Created Time:   2019-02-08 15:20:18
	 
************************************************************************/
#include 
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x7f7f7f7f
const int maxn=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
int a[maxn];
int b[maxn],b1[maxn];
int vis[maxn];
int dp[maxn];
int main(int argc, char const *argv[])
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		vis[a[i]]=i;
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>b[i];
		b1[i]=vis[b[i]];
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int pos=lower_bound(dp,dp+ans,b1[i])-dp;
		dp[pos]=b1[i];
		ans=max(ans,pos+1);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}