概率论知识回顾（十四）：离散与连续随机变量的期望

概率论知识回顾（十四）

重点：离散与连续随机变量的期望

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知识回顾

1. 离散型随机变量 $X$ 的期望怎么表示？什么时候期望存在？什么时候期望不存在？
2. 二项分布，泊松分布，几何分布以及负二项分布它们的期望分别是什么？
3. 连续性随机变量 $X$ 的期望怎么表示？什么时候期望存在？什么时候期望不存在？
4. 均匀分布，$\Gamma$ 分布，指数分布以及正太分布的期望分别是什么？

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知识解答

1. 离散型随机变量 $X$ 的期望怎么表示？什么时候期望存在？什么时候期望不存在？

   • 对于随机变量 $X，P\left\{\begin{array}{c}X=x_k\end{array}\right\}=p_k$ 来说， 它的期望为 ：$E(X)={\sum }_k{p}_k{x}_k$
     • 当 $E(X)$ 绝对收敛的时候期望存在。
     • 当 $E(X)$ 发散的时候期望不存在。

2. 二项分布，泊松分布，几何分布以及负二项分布它们的期望分别是什么？

   • 二项分布 $X\sim B(n,p)$
     • $P\left\{\begin{array}{c}X=k\end{array}\right\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots$
     • $E(X)=np$
   • 泊松分布 $X\sim P(\lambda )$
     • $P\left\{\begin{array}{c}X=k\end{array}\right\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,...$
     • $E(X)=\lambda$
   • 几何分布
     • $P\left\{\begin{array}{c}X=k\end{array}\right\}=C_{n-1}^{k-1}{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=1,2,...$
     • $E(X)=\frac{1}{p}$
   • 负二项分布
     • $P\left\{\begin{array}{c}X=k\end{array}\right\}=C_{r-1}^{k-1}{p}^r(1-p{)}^{k-r},k=r,r+1,r+2,...$
     • $E(X)=\frac{r}{p}$

3. 连续性随机变量 $X$ 的期望怎么表示？什么时候期望存在？什么时候期望不存在？

   • 对于连续性随机变量 $X$ 来说，假设 $f(x)$ 是 $X$ 的密度函数，那么它的期望是: $E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$
     • 和离散型随机变量相似。
     • 当 $E(X)$ 绝对收敛的时候期望存在。
     • 当 $E(X)$ 发散的时候期望不存在。

4. 均匀分布，$\Gamma$ 分布，指数分布以及正态分布的期望分别是什么？

   • 均匀分布 $X\sim U(a,b)$

     • $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& a\le x\le b\\ 0& otherwise\end{array}$
     • $E(X)=\frac{a+b}{2}$

   • $\Gamma$ 分布 $X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$

     • $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$

       $\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt$

     • $E(X)=\frac{\alpha }{\beta }$

   • 指数分布 $X\sim \Gamma (1,\lambda )$

     • $f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$
     • $E(X)=\frac{1}{\lambda }$

   • 正态分布 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

     • $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$
     • $E(X)=\mu$