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洛谷P1912【原题，需输出方案】
BZOJ1563【无SPJ，只需输出结果】
题解
四边形不等式
什么是四边形不等式？
一个定义域在整数上的函数\(val(i,j)\)，满足对\(\forall a \le b \le c \le d\)有
\[val(a,d) + val(b,c) \ge val(a,c) + val(b,d)\]
那么我们称函数\(val(i,j)\)满足四边形不等式
一般地，当我们需要证明一个函数\(val(i,j)\)满足四边形不等式时，只需证对于\(\forall j < i\)有
\[val(j,i + 1) + val(j + 1,i) \ge val(j,i) + val(j + 1,i + 1)\]
因为若该条件满足，
那么有
对于\(j < i\)有
\[val(j,i + 1) + val(j + 1,i) \ge val(j,i) + val(j + 1,i + 1)\]
对于\(j + 1 < i\)有
\[val(j + 1,i + 1) + val(j + 2,i) \ge val(j + 1,i) + val(j + 2,i + 1)\]
两式相加
\[val(j,i + 1) + val(j + 2,i) \ge val(j,i) + val(j + 2,i + 1)\]
同理，只要满足第一个条件，对于\(\forall j + x < i + y\)都能推出
\[val(j,i + y) + val(j + x,i) \ge val(j,i) + val(j + x,i + y)\]
所以对\(\forall a \le b \le c \le d\)有
\[val(a,d) + val(b,c) \ge val(a,c) + val(b,d)\]
证毕
如何使用四边形不等式优化\(dp\)？
如果我们有这样一个递推式
\[f[i] = min\{f[j] + val(j,j)\}\]
如果是\(1D1D\)方程，自然可以单调队列或者斜率优化
但是如果\(val(i,j)\)比较复杂，无法展开，我们不能有效地分离\(i,j\)变量，斜率优化就失效了
这个时候就要考虑\(val(j,i)\)是否满足四边形不等式
假使\(val(j,i)\)是满足的
那么我们对\(f[i]\)求出了一个最优转移位置，即为\(p[i]\)
那么对于\(\forall j < p[i]\)，都有
\[f[p[i]] + val(p[i],i) \le f[j] + val(j,i)\]
我们现在要求\(f[k]\)，其中\(k > i\)
以上我们有\(j < p[i] < i < k\)
那么由四边形不等式：
\[val(j,k) + val(p[i],i) \ge val(j,i) + val(p[i],k)\]
交换一下
\[val(j,i) + val(p[i],k) \le val(j,k) + val(p[i],i)\]
与\(f[p[i]] + val(p[i],i) \le f[j] + val(j,i)\)相加
得
\[f[p[i]] + val(p[i],k) \le f[j] + val(j,k)\]
得证\(f[k]\)的决策\(p[k] \ge p[i]\)
换言之，\(f[i]\)的决策满足决策单调性
对于\(\forall i > j\)都有\(p[i] \ge p[j]\)
我们就可以从这里入手优化这个\(O(n^2)\)的转移
为求出\(f[i]\)，我们只需求出\(p[i]\)数组
一开始令\(p[i] = 0\)，即未开始转移前所有位置的最优决策为位置\(0\)
之后从小枚举\(i\)
枚举到\(i\)时，\(i\)处最优决策更新完毕，那么\(\forall j \le i\)，\(p[j]\)和\(f[j]\)都已经计算
为了更新\(p[i]\)数组，我们只需找到\(i\)所能更新的最左的位置\(l\)，由于决策的单调性，\([l,n]\)的决策都将更新为\(i\)
此时二分判断即可
由于需要进行区间赋值，我们可以用一个队列来优化以上操作
具体地，储存若干三元组\((pos,l,r)\)，表示区间\([l,r]\)的决策为\(pos\)，每次更新从队尾逐个取出检查即可
复杂度优化为\(O(nlogn)\)
诗人小G
设\(f[i]\)为前\(i\)个句子排版的最小不和谐度
记\(len[i]\)为句子\(i\)的长度，\(sum[i]\)为句子长度前缀和
容易写出转移方程
\[f[i] = min\{f[j] + |(sum[i] - sum[j]) + (i - j - 1) - L|^{P}\}\]
我们记\(val(j,i) = |(sum[i] - sum[j]) + (i - j - 1) - L|^{P}\)，显然无法进行斜率优化
考虑\(val(j,i)\)是否满足四边形不等式，即\(f[i]\)的决策是否具有单调性
我们可以打表证明
要证\(val(j,i)\)满足四边形不等式，只需证对\(\forall j < i\)
\[val(j,i + 1) + val(j + 1,i) \ge val(j,i) + val(j + 1,i + 1)\]
即证
\[val(j + 1,i) - val(j + 1,i + 1) \ge val(j,i) - val(j,i + 1)\]
观察\(val(j,i) = |(sum[i] + i) - (sum[j] + j) - (L + 1)|^{P}\)
我们令\(x = (sum[i] + i) - (sum[j] + j) - (L + 1)\)
我们令\(y = (sum[i] + i) - (sum[j + 1] + j + 1) - (L + 1)\)
那么原式化为：
\[|y|^{P} - |y + len[i] + 1|^{P} \ge |x|^{P} - |x + len[i] + 1|^{P}\]
又因为\(x > y\)
我们只需证对于函数\(f(x) = |x|^{P} - |x + c|^{P}\)关于\(x\)单调递减，其中\(c\)为大于\(0\)的常数
可以使用导数分类讨论得证
于是就可以用四边形不等式优化成\(O(nlogn)\)
不输出方案版：
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输出方案版
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