2019高考数学理科Ⅱ卷解析版[选填题]

前言

与2018年相比，选择填空题增加1道数学文化、1道概率；减少三视图、线性规划、流程图、排列组合和二项式定理模块；

一、选择题

例1【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第1题】

分析：

解析：

解后反思：

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例2【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第2题】

分析：

解析：

解后反思：

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例3【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第3题】

分析：

解析：

解后反思：

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例4【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第4题】原题目，

将高考真题中的物理知识背景省略，高度抽象就得到了如下的数学题目：

已知公式：\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\)，且已知\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，\(\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3\)，试用\(M_1\)，\(M_2\)，\(R\)表示\(r\)的近似值；

$A.\sqrt{\cfrac{M_2}{M_1}}\cdot R$ $B.\sqrt{\cfrac{M_2}{2M_1}}\cdot R$ $C.\sqrt[3]{\cfrac{3M_2}{M_1}}\cdot R$ $D.\sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\cdot R$

分析：联系到本年度的Ⅱ卷高考数学题目的解答，首先要突破的是对题意的理解，大体意思就是，给定了一个方程，要求你将方程中的\(r\)求解出来，但是由于是用手工计算，为了降低难度，给了一个近似参考公式，你必须使用这个近似计算公式，才能顺利求解。理解了题意之后，还有一个问题，就是该如何使用近似计算公式。由于近似计算中提到了\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，所以我们需要首先让方程中出现\(\alpha\)，使用\(\cfrac{r}{R}=\alpha\)代换，求解到最后，再使用\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，让式子中出现\(r\)，计算即可。

解析：给方程的两边，同时乘以\(R^2\)，得到$ \cfrac{R\cdot M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{R\cdot M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{R\cdot M_1}{R^3}$，

即\(\cfrac{M_1}{\frac{(R+r)^2}{R^2}}+\cfrac{M_2}{\frac{r^2}{R^2}}=(R+r)\cfrac{M_1}{\frac{R^3}{R^2}}\)，变形得到，

\(\cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R}\)，即\(\cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(1+\alpha)M_1\)，

然后通分整理，得到，\(\alpha^2M_1+(1+\alpha)^2M_2=(1+\alpha)^3\cdot \alpha^2M_1\)，

则有\((1+\alpha)^2M_2=\alpha^2M_1+(3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5)M_1-\alpha^2M_1\)，

即\((1+\alpha)^2M_2=(3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5)M_1\)，则\(\cfrac{M_2}{M_1}=\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\)，

即\(\cfrac{M_2}{M_1}\approx 3\alpha^3\)，则\(\alpha^3\approx \cfrac{M_2}{3M_1}\)，

故\(\alpha\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)，即\(\cfrac{r}{R}\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)，则\(r\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\cdot R\)，故选\(D\)。

【解后反思】

• 1、你怎么强化自己的阅读理解能力都不嫌过分；近似计算的思路分析过程要清楚；运算功底要扎实，到位。

• 2、\((1+\alpha)^3=1+3\alpha+3\alpha^2+\alpha^3\)；\((a\pm b)^3=a^3\mp 3a^2b\pm 3ab^2-b^3\)；

• 3、整个求解过程中的换元法的使用思路：

\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\) \(\xlongequal[同乘以R^2，变形]{为引入\alpha，便于近似计算}\)

\(\stackrel{\frac{r}{R}=>\alpha}{\Longrightarrow} \cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(1+\alpha)M_1\)，

整理变形，得到\(\alpha\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)， \(\stackrel{\alpha=>\frac{r}{R}}{\Longrightarrow} \cfrac{r}{R}\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)，

从而得到，\(r\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\cdot R\)，故选\(D\)。

• 4、该题目到底是数学题目还是物理题目？

当你将本题目的物理知识背景都去掉，抽象为“已知公式：\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\)，且已知\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，\(\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3\)，试用\(M_1\)，\(M_2\)，\(R\)表示\(r\)的近似值”，那么此时的题目就是纯粹的数学题目，当添加上物理知识背景后，既可以看成物理题，也可以看成数学题，由此我们还能感悟得到，数学这门学科应该是物理、化学、生物等学科的工具学科，当其他具体学科中的问题转化建立了数学模型后，剩下的求解就是纯粹的数学知识了。

我们的问题：不清楚化简的方向，不清楚化简的方法。

• 相关链接：常用数学化简

例5【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第5题】

分析：

解析：

解后反思：

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例6【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第6题】

解析：法1，不等式性质法；法2，赋值法；

• 相关链接：大小比较【初级和中阶高阶辅导】

例7【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第7题】

• 相关链接：充分必要条件

例8【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第8题】

分析：

解析：

解后反思：

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例9【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第9题】

分析：

解析：

解后反思：

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例10【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第10题】

分析：

解析：

解后反思：

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例11【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第11题】设\(F\)为双曲线\(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)\)的右焦点，\(O\)为坐标原点，以\(OF\)为直径的圆与圆\(x^2+y^2=a^2\)交于\(P\)，\(Q\)两点，若\(|PQ|=|OF|\)，则\(C\)的离心率为【】

$A.\sqrt{2}$ $B.\sqrt{3}$ $C.2$ $D.\sqrt{5}$

分析：主要考虑如何得到\(a\)与\(b\)、\(c\)之间的关系；

解析：如图所示，

法1：由\(\left\{\begin{array}{l}{(x-\cfrac{c}{2})^2+y^2=\cfrac{c^2}{4}}\\{x^2+y^2=a^2}\end{array}\right.\)，消\(y\)，解得\(x=\cfrac{a^2}{c}\)，

代入\(y^2=a^2-x^2=a^2-\cfrac{a^4}{c^2}=\cfrac{a^2(c^2-a^2)}{c^2}\)，

又由\(|PQ|=|OF|\)，即\(2|y|=c\)，则\(4y^2=c^2\)，

整理得到\(4a^2(c^2-a^2)=c^4\)，即\(c^4-4a^2c^2+4a^2=0\)，则\((c^2-2a^2)=0\)，

即\(c^2=2a^2\)，则\(e^2=\cfrac{c^2}{a^2}=2\)，故\(e=\sqrt{2}\)，选\(A\)；

法2：由于\(|PQ|=|OF|\)，则可知\(B\)为圆心，故点\(B\)的横坐标\(x=\cfrac{c}{2}\)，

由\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{c}{2}}\\{x^2+y^2=a^2}\end{array}\right.\)，解得\(y=\sqrt{a^2-\cfrac{c^2}{4}}\)，

则可知\(|PQ|=2\sqrt{a^2-\cfrac{c^2}{4}}\)，又\(|PQ|=|OF|=c\)，

故\(2\sqrt{a^2-\cfrac{c^2}{4}}=c\)，化简整理得到\(c^2=2a^2\)，解得\(e=\sqrt{2}\)，选\(A\)；

解后反思：1、显然法2比法1的运算要简单，原因是两个二次方程组成的方程组的求解难度必然要比一个一次和一个二次方程组的求解难度要大；

2、在圆内和直径相等的弦必为圆的直径，两条直径的交点必为圆心。强化初中的平面几何知识，是很有必要的。

• 相关链接：平面几何定理复习

3、注意方程\(c^4-4a^2c^2+4a^2=0\)的解法，或转化为\((c^2-2a^2)=0\)，或转化为\(\cfrac{c^4}{a^4}-4\cfrac{c^2}{a^2}+4=0\)，即\(e^4-4e^2+4=0\)；

例12【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第12题】设函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，满足\(f(x+1)=2f(x)\)，且当\(x\in (0，1]\)时，\(f(x)=x(x-1)\)，若对于任意\(x\in (-\infty，m]\)，都有\(f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}\)，则\(m\)的取值范围是【】

$A.(-\infty，\cfrac{9}{4}]$ $B.(-\infty，\cfrac{7}{3}]$ $C.(-\infty，\cfrac{5}{2}]$ $D.(-\infty，\cfrac{8}{3}]$

分析：要想弄清楚这类题目的求解，最好先理解题目中给定的条件的目的，

给定条件“\(f(x+1)=2f(x)\)”是为了让你用来求解其他区间上的解析式，以便于求解或作图；

给定条件“\(x\in (0，1]\)时，\(f(x)=x(x-1)\)”，是我们作图或者求其他区间上的解析式的基础；因此我们需要先求得函数的解析式；

给定条件“\(x\in (-\infty，m]\)，都有\(f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}\)”，是让我们做出函数\(y=f(x)\)的图像和\(y=-\cfrac{8}{9}\)的图像，从图像上判断，在函数\(y=f(x)\)的哪一段上满足\(f(x)\)的图像一直在直线\(y=-\cfrac{8}{9}\)的上方。

解析：令\(x+1=t\)，则\(x=t-1\)，即给定条件\(f(x+1)=2f(x)\)变形为\(f(t)=2f(t-1)\)，

即\(f(x)=2f(x-1)\star\)，这是我们下来变换要使用的重要的表达式；

由于\(x\in (0，1]\)时，\(f(x)=x(x-1)\)①，

则当\(x\in (1，2]\)时，\(x-1\in (0，1]\)，则由\(\star\)和①式得到，即\(f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)\)②；

当\(x\in (2，3]\)时，\(x-1\in (1，2]\)，则由\(\star\)和②式得到，即\(f(x)=2f(x-1)=2\times 2[(x-1)-1][(x-2)-1]=4(x-2)(x-3)\)③；

以下区间的解析式求解用不上，不过我们还是看看，

当\(x\in (3，4]\)时，\(x-1\in (2，3]\)，则由\(\star\)和③式得到，此时\(f(x)=2f(x-1)=2\times 4[(x-1)-2][(x-1)-3]=8(x-3)(x-4)\)④；

同理，我们还可以求得\(x\in (-1，0]\)时的解析式；

则当\(x\in (-1，0]\)时，\(x+1\in (0，1]\)，则由\(f(x+1)=2f(x)\)得到，即\(f(x)=\cfrac{1}{2}f(x+1)=\cfrac{1}{2}x(x+1)\)⑤；

在坐标系中做出分段函数在区间\((-1，3]\)上的图像以及直线\(y=-\cfrac{8}{9}\)，

由图像可知，我们求解方程\(4(x-2)(x-3)=-\cfrac{8}{9}\)，解得\(x=\cfrac{7}{3}\)或\(x=\cfrac{8}{3}\)(结合图像舍去)

即\(m=\cfrac{7}{3}\)，故选\(B\)。

解后反思：1、本题目涉及到的知识点比较多：分段函数，求解析式，换元法，二次函数，数形结合等等；

2、对表达式\(f(x)=2f(x-1)\)的理解，它是两种变换，比如平移变换\(f(x)=f(x-1)\)和振幅变换\(f(x)=2f(A)\)的融合，理解了本题目后，以后碰到类似题目，我们就可知这样理解，\(f(x-1)\)的意思是将基础图像\(y=x(x-1)\)向右平移一个单位，再乘以\(2\)，意思是在原来平移的图像的基础上在\(y\)轴方向扩大\(2\)倍，这样做图像就快多了。

3、我们还可以不详细求解各区间段上的解析式，而利用图像直接写出解析式。比如向右平移一次后我们知道，函数图像经过点\((1，0)\)和\((2，0)\)，则解析式为\(y=a(x-1)(x-2)\)，且知道最低点为\((\cfrac{1}{2}，-\cfrac{1}{2})\)，可知\(a=2\)，即\(x\in (1，2]\)时，\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)；

4、能不能不做变换，直接利用\(f(x+1)=2f(x)\)来求解析式呢？也可以，不过你必须始终紧紧盯住自变量\(x\)的取值不放，

比如\(x\in (0，1]\)时，\(f(x)=x(x-1)\)，由\(f(x+1)=2f(x)\)，先求得\(f(x+1)=2x(x-1)\)，注意到\(x+1\in (1，2]\)，要求解\(x\in (1，2]\)上的解析式，还得换元，令\(x+1=t\in (1，2]\)，则\(x=t-1\)，代入\(f(x+1)=2x(x-1)\)，变形得到\(f(t)=2(t-1)(t-2)\)，\(t\in (1，2]\)，即\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)，\(x\in (1，2]\).

5、注意函数的解析式的写法和理解。

形式一：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2(x-1)(x-2)，x\in(1，2]}\\{4(x-2)(x-3)，x\in(2，3]}\\{8(x-3)(x-4)，x\in(3，4]}\\{\cdots，\cdots}\end{array}\right.\)

形式二：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2f(x-1)，x>1}\end{array}\right.\)

• 相关链接：几类特殊分段函数图像的画法

二、填空题

例13【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第13题】我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有\(10\)个车次的正点率为\(0.97\)，有\(20\)个车次的正点率为\(0.98\)，有\(10\)个车次的正点率为\(0.99\)，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________.

分析：由题目可知，经停该站高铁列车所有车次为\(40\)个车次，那么利用加权平均数的计算公式就可以求解平均值。

解析：\(\bar{x}=\cfrac{10}{40}\times 0.97+\cfrac{20}{40}\times 0.98+\cfrac{10}{40}\times 0.99=0.98\).

解后反思：听学生反馈，说是题目理解有误，他弄不清楚正点率为\(0.98\)的\(20\)个车次里面，到底是不是包含了开始说的那\(10\)个车次，很明显是不包含的，故正确、准确理解题意很关键。

例14【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第14题】已知\(f(x)\)为奇函数，且当\(x<0\)时，\(f(x)=-e^{ax}\)，若\(f(ln2)=8\)，则\(a\)=___________。

分析：利用函数的奇偶性求参数的值。

解析：由\(f(ln2)=8\)以及奇函数可知，\(f(-ln2)=-8\)，

则\(f(-ln2)=-e^{a(-ln2)}=-e^{-aln2}=-8\)，即\((e^{ln2})^{-a}=8\)，则\(2^{-a}=8=2^3\)，故\(-a=3\)，则\(a=-3\)。

解后反思：深刻理解指数、对数的运算性质和法则。

• 相关链接：指数对数的运算

例15【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第15题】\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(b=6\)，\(a=2c\)，\(B=\cfrac{\pi}{3}\)，则\(\triangle ABC\)的面积为__________。

分析：利用正余弦定理解三角形。

解析：自行做出相应图形，针对\(b\)边使用余弦定理，得到

\(b^2=a^2+c^2-2accosB\)，即\(36=c^2+4c^2-2\cdot c\cdot 2c\cdot cos\cfrac{\pi}{3}\)

解得，\(c=2\sqrt{3}\)，则\(a=4\sqrt{3}\)，

则\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}accosB=\cfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}\times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\)。

• 相关链接：正余弦定理解三角形

例16【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第16题】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱数为\(48\)的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为\(1\)，则该半正多面体共有__________个面，其棱长为_____________。

分析：半正多面体的制作过程，如下图所示；

解析：如果我们将其看成是三层的，则每一层都有\(8\)个面，再外加上下两个面，故共有\(3\times 8+2=26\)个面。

如图所示，设棱长为\(x\)，即\(MN=NE=x\)，由\(\triangle EHN\)为等腰直角三角形，

由\(NE=x\)，则可知\(NH=\cfrac{\sqrt{2}}{2}x\)，又\(MN+2NH=1\)，

则\(x+2\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}x=1\)，即\((\sqrt{2}+1)x=1\)，解得\(x=\sqrt{2}-1\).

综上可知，此半正多面体共有\(26\)个面，棱长为\(\sqrt{2}-1\)。

【解后反思】

1、求其表面积；

2、求其体积；

3、求其内切球的半径；

分析：由这个动画可以看出，该半正多面体没有内切球。

4、求其外接球的半径；

外接球的半径可以借助下图来求解。

5、古典概型中的几何体计数

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