牛客网暑期ACM多校训练营（第一场）F Sum of Maximum [容斥 + 拉格朗日插值]

F	Sum of Maximum

 

题目：给定一个数组a,求出给定公式的的值；

看题目的公式，通过观察发现公式的值与a数组的顺序无关，所以首先将a数组按照从小到大排序；

假设 < ，考虑最大值对答案的贡献：

对于每个x:

1.考虑~的方案数：

因为<，当最大值时，~ 可以随便选;

所以方案数就是：, 记为.

2.考虑~的方案数：

因为 <  ,当最大值时，~可以在[1, x]中取值，那么只要保证~中至少有一个是x就

满足啦，所以根据容斥定理，方案数就是，在~中选择一个数等于x，剩下的数字在[1,x]中取，减去选2个，加上选3个，

减去选4个......，这样得到的答案就是：

需要观察一下，你会发现上面的式子，是的一部分，那么化简一下就是下面的式子：

     我们记为 f(x);

3.综上最大值x的贡献为: ;

所以对于每一段 < ，我们求得就是

            

化简一下：

                  记做：

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

枚举x = 0到x = n - i + 1，求出n - i + 2个点值，然后做拉格朗日插值；

是拉格朗日插值后的结果；

当时， ;

所以最后ans = 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

红线标记的部分估计是大多数像我一样的菜鸡所需要学习的，那我们就继续学习吧！！！

什么是拉格朗日插值法：对于给定的几个点，找到关于这几个点的函数；

对于给定的若n+1个点，对应于它们的次数不超过n的拉格朗日多项式  只有一个；

看啦这么多，实际上就是套下模板嘛。。。。

代码：

#include 
#define ll long long
using namespace std;

const ll MOD = 1e9 + 7;

struct PolyInter {
    int mod_, deg;
    vector inv, val, buf;

    void init(const vector& v, int m = 0)   //预先计算逆元;
    {
        mod_ = m, deg = v.size(), val = buf = v;
        inv.resize(max(2, deg));
        inv[1] = 1;
        for (int i = 2; i < deg; i++) {
            inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
        }
    }

    ll eval(ll n)
    {
        ll b = 1;
        for (int i = 1; i < deg; i++) {
            b = b * (n - i + 1 + MOD) % MOD * inv[i] % MOD;
            buf[i] = b * val[i] % MOD;
        }
        b = 1;
        ll result = buf[deg - 1];
        for (int i = deg - 2; i >= 0; i--) {
            b = (MOD - b) * inv[deg - 1 - i] % MOD * (n - i - 1 + MOD) % MOD;
            result = (result + buf[i] * b)% MOD;
        }
        return result;
    }
};

ll pow(ll a, ll b)   //快速幂a^n;
{
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if (b & 1) {
            ans = ans * a % MOD;
        }
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d", &n)) {
        vector a(n+1);

        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
        sort(a.begin()+1, a.end());

        ll result = 0;
        ll pre = 1, prev = 0;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if(a[i] == prev) continue;
            int exp = n - i + 1;

            vector vals(exp + 2);
            vals[0] = 0;
            for (int j = 1; j <= exp+1; j++) vals[j] = (MOD + (j*((pow((ll)j, (ll)exp) - pow((ll)(j-1), (ll)exp))%MOD)%MOD) + vals[j-1])%MOD;

            PolyInter p;
            p.init(vals);
            result = (result + pre*(p.eval(a[i]) - p.eval(prev))%MOD)%MOD;
            pre = pre * a[i] % MOD;
            prev = a[i];
        }
        printf("%lld\n", (result+MOD)%MOD);
    }
}