自动控制理论一些零散的基本概念

狄利克雷条件

动态系统依据连续时间系统分为两大类：时变系统和时不变系统
时不变
形式一：
T[x(t)]=y[t]则 T[x(t-t0)]=y[t-t0]
这说明序列x(t)先移位后进行变换（T[x(t)]→T[x(t-t0)]）与它先进行变换后再移位（T[x(t)]=y[t]→y[t-t0]）是等效的。
形式二：

若向量f，g不显含时间变量t，即有：

时不变系统物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统。严格地说，由于内部影响和外部影响的存在，时不变系统只是时变系统的一种理想化模型。但是，只要这种时变过程比之系统动态过程足够地慢，那么采用时不变系统代替时变系统进行分析，仍可保证具有足够的精确度。

全响应=零状态+零输入

（百度百科）
零状态：
系统的零状态响应一般分为两部分，它的变化形式分别由系统本身的特性和激励源所决定。
当系统是线性的，它的特性可以用线性微分方程表示时，零状态响应的形式是若干个指数函数之和再加上与激励源形式相同的项。

前者是对应的齐次微分方程的解，其中指数函数的个数等于微分方程的阶数，也就是系统内部所含“独立”储能元件的个数。后者是非齐次方程的特解。

对于实际存在的无源系统而言，零状态响应中的第一部分将随着时间的推移而逐渐地衰减为零，因此往往又把这一部分称之为响应的“暂态分量”或“自由分量”；后者与激励源形式相同的部分则被称之为“稳态分量”或“强制分量”。

无限维希伯尔特空间？

拉式方程

傅里叶变换（考研记个结论的那个是傅里叶级数）

（来源马同学）
马同学博客
其中系数公式，如果f(t)是奇函数或者偶函数根据函数向量的点积定理可以发现，f(t)为奇函数的时候an为0，反之bn为0。
其中T是f(t)的周期
其中系数公式的推导过程见马同学博客，大致思想是将这个f(t)看做是一个基底为[1,cos(2Nπt/T),sin(2Nπt/T)]，当然这个定理必须要是必须在正交基的前提条件下才能成立的。

下面这三组基底很明显就是两两互相垂直的(函数内积公式可证，不懂再去看链接)

然后根据向量的对应公式去求的对应系数

如果n>1则是多维坐标系，时域已经画不出来了，只能通过频域来观察。

如果用欧拉公式来化简后则是


就和傅里叶变换的公式一样了。

（来源知乎李狗嗨）
傅里叶变换（FT），实际上就是将一个周期信号给傅里叶级数化了，使之分成好多个正弦信号的叠加。方便在频域方向上进行观察。

由待分析的周期信号 x(t) ，可以积分得到其中所包含的谐波成分的幅值 a_k，而将这些频率成分全部相加则可以重构出原周期信号。


举个例子：
周期为2π的方波，可以用大量的正弦波的叠加来逼近（如图一，y坐标是2）

可以看到这个函数它是有关于零对称的奇函数向上平移了1得到的。那么就可以看做是一个以

为基的函数,第二个种类基的系数为0（an），所以第一个基“1”的系数很明显也是0（a0），那么就剩下sin了。如下：

之所以又把这个基“1”给写上去了是因为后来这个奇函数是要向上平移1的单位的的，也就是图一中的图像，这个时候a0=1。

我们之所把这个a0这一项从这个傅里叶变换通用公式里面提取出来也就是为了这个原因，因为a0这一项的系数公式所表示的是一个周期函数在变换时平移的一个概念。而an和bn（n>0）则是将周期函数用cos和sin去近似的一个概念。

最后的傅里叶变换公式就是

它的对应向量就是下面

可以在频域图上看到，这就他们谐波的幅值大小了。

一个比较重要的定理

这代表了时域和频域在连续离散性质上两个相反的概念。

拉式变换（拉普拉斯变换）（常用于求解代数微分方程）

（来源知乎李狗嗨）

如果仔细观察可以发现拉普拉斯变换和傅里叶变换有长得挺像的

举个例子：
先从最基础的说，e^x的泰勒是如下形式

提取当中的系数为a(n)

写成一个幂级数求和形式如下：

将n替换成t，并且将离散变成连续有

此时的x替换成如下形式

拉氏变换公式

对比之下就看到s就是

简写：

搞清楚了这个后就可以看定义了——

变换具有如下性质

Z变换