机器学习系列6-分类问题(概率生成模型)

Classification: Probabilistic Generative Model

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Classification

概念描述

分类问题是找一个function,它的input是一个object,它的输出是这个object属于哪一个class

还是以宝可梦为例,已知宝可梦有18种属性,现在要解决的分类问题就是做一个宝可梦种类的分类器,我们要找一个function,这个function的input是某一只宝可梦,它的output就是这只宝可梦属于这18类别中的哪一个type

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输入数值化

对于宝可梦的分类问题来说,我们需要解决的第一个问题就是,怎么把某一只宝可梦当做function的input?

要想把一个东西当做function的input,就需要把它数值化

特性数值化:用一组数字来描述一只宝可梦的特性

比如用一组数字表示它有多强(total strong)、它的生命值(HP)、它的攻击力(Attack)、它的防御力(Defense)、它的特殊攻击力(Special Attack)、它的特殊攻击的防御力(Special defend)、它的速度(Speed)

以皮卡丘为例,我们可以用以上七种特性的数值所组成的vector来描述它

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How to classification

Training data for Classification

假设我们把编号400以下的宝可梦当做training data,编号400以上的当做testing data,因为宝可梦随着版本更新是不断增加的,编号比较前面的宝可梦是比较早发现的,所以我们去模拟已经发现这些宝可梦的情况下,如果看到新的宝可梦,能不能够预测它是哪种属性

Classification as Regression?
可以把分类问题当做回归问题来解吗?

以binary classification为例,我们在Training时让输入为class 1的输出为1,输入为class 2的输出为-1;那么在testing的时候,regression的output是一个数值,它接近1则说明它是class 1,它接近-1则说明它是class 2

如果这样做,会遇到什么样的问题?

假设现在我们的model是 y = b + w 1 ⋅ x 1 + w 2 ⋅ x 2 y=b+w_1\cdot x_1+w_2\cdot x_2 y=b+w1x1+w2x2,input是两个feature, x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2

有两个class,蓝色的是class 1,红色的是class 2,如果用Regression的做法,那么就希望蓝色的这些属于class 1的宝可梦,input到Regression的model,output越接近1越好;红色的属于class 2的宝可梦,input到Regression的model,output越接近-1越好

假设我们真的找到了这个function,就像下图左边所示,绿色的线表示 b + w 1 x 1 + w 2 x 2 = 0 b+w_1 x_1+w_2 x_2=0 b+w1x1+w2x2=0,也就是class 1和class 2的分界线,这种情况下,值接近-1的宝可梦都集中在绿线的左上方,值接近1的宝可梦都集中在绿线的右下方,这样的表现是蛮好的

但是上述现象只会出现在样本点比较集中地分布在output为-1和1的情况,如果像下图右侧所示,我们已经知道绿线为最好的那个model的分界线,它的左上角的值小于0,右下角的值大于0,越往右下方值越大,所以如果要考虑右下角这些点的话,用绿线对应的model,它们做Regression的时候output会是远大于1的,但是你做Regression的时候,实际上已经给所有的点打上了-1或1的标签(把-1或1当做“真值”),你会希望这些紫色点在model中的output都越接近1(接近所谓的“真值”)越好,所以这些output远大于1的点,它对于绿线对应的model来说是error,是不好的,所以这组样本点通过Regression训练出来的model,会是紫色这条分界线对应的model,因为相对于绿线,它“减小”了由右下角这些点所带来的error

Regression的output是连续性质的数值,而classification要求的output是离散性质的点,我们很难找到一个Regression的function使大部分样本点的output都集中在某几个离散的点附近

因此,Regression定义model好坏的定义方式对classification来说是不适用的

注:该图为三维图像在二维图像上的投影,颜色表示y的大小

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而且值得注意的是,如果是多元分类问题,把class 1的target当做是1,class 2的target当做是2,class 3的target当做是3的做法是错误的,因为当你这样做的时候,就会被Regression认为class 1和class 2的关系是比较接近的,class 2和class 3的关系是比较接近的,而class 1和class 3的关系是比较疏远的;但是当这些class之间并没有什么特殊的关系的时候,这样的标签用Regression是没有办法得到好的结果的(one-hot编码也许是一种解决方案?)

Ideal Alternatives

注意到Regression的output是一个real number,但是在classification的时候,它的output是discrete(用来表示某一个class)

理想的方法是这样的:

Function(Model)

我们要找的function f(x)里面会有另外一个function g(x),当我们的input x输入后,如果g(x)>0,那f(x)的输出就是class 1,如果g(x)<0,那f(x)的输出就是class 2,这个方法保证了function的output都是离散的表示class的数值

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那之前不是说输出是1,2,3…是不行的吗,注意,那是针对Regression的loss function而言的,因为Regression的loss function是用output与“真值”的平方和作为评判标准的,这样输出值(3,2)与(3,1)之间显然是(3,2)关系更密切一些,为了解决这个问题,我们只需要重新定义一个loss function即可

Loss function

我们可以把loss function定义成 L ( f ) = ∑ n δ ( f ( x n ) ≠ y ^ n ) L(f)=\sum\limits_n\delta(f(x^n)≠\hat{y}^n) L(f)=nδ(f(xn)=y^n),即这个model在所有的training data上predict预测错误的次数,也就是说分类错误的次数越少,这个function表现得就越好

但是这个loss function没有办法微分,是无法用gradient descent的方法去解的,当然有Perceptron、SVM这些方法可以用,但这里先用另外一个solution来解决这个问题

Solution:Generative model

概率理论解释

假设我们考虑一个二元分类的问题,我们拿到一个input x,想要知道这个x属于class 1或class 2的概率

实际上就是一个贝叶斯公式,x属于class 1的概率就等于class 1自身发生的概率乘上在class 1里取出x这种颜色的球的概率除以在class 1和 class 2里取出x这种颜色的球的概率(后者是全概率公式)

贝叶斯公式=单条路径概率/所有路径概率和

从class 1里摸球的概率
从class 2里摸球的概率
在class 1里摸到x的概率
在class 2里摸到x的概率
摸球
class 1
class 2
摸到x

因此我们想要知道x属于class 1或是class 2的概率,只需要知道4个值: P ( C 1 ) , P ( x ∣ C 1 ) , P ( C 2 ) , P ( x ∣ C 2 ) P(C_1),P(x|C_1),P(C_2),P(x|C_2) P(C1),P(xC1),P(C2),P(xC2),我们希望从Training data中估测出这四个值

流程图简化如下:

P(C1)
P(C2)
P(x|C1)
P(x|C2)
begin
Class 1
Class 2
x

于是我们得到:(分母为全概率公式)

  • x属于Class 1的概率为第一条路径除以两条路径和: P ( C 1 ∣ x ) = P ( C 1 ) P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 ) P ( x ∣ C 1 ) + P ( C 2 ) P ( x ∣ C 2 ) P(C_1|x)=\frac{P(C_1)P(x|C_1)}{P(C_1)P(x|C_1)+P(C_2)P(x|C_2)} P(C1x)=P(C1)P(xC1)+P(C2)P(xC2)P(C1)P(xC1)
  • x属于Class 2的概率为第二条路径除以两条路径和: P ( C 2 ∣ x ) = P ( C 2 ) P ( x ∣ C 2 ) P ( C 1 ) P ( x ∣ C 1 ) + P ( C 2 ) P ( x ∣ C 2 ) P(C_2|x)=\frac{P(C_2)P(x|C_2)}{P(C_1)P(x|C_1)+P(C_2)P(x|C_2)} P(C2x)=P(C1)P(xC1)+P(C2)P(xC2)P(C2)P(xC2)
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这一整套想法叫做Generative model(生成模型),为什么叫它Generative model呢?因为有这个model的话,就可以拿它来generate生成x(如果你可以计算出每一个x出现的概率,就可以用这个distribution分布来生成x、sample x出来)

Prior

P ( C 1 ) P(C_1) P(C1) P ( C 2 ) P(C_2) P(C2)这两个概率,被称为Prior,计算这两个值还是比较简单的

假设我们还是考虑二元分类问题,编号小于400的data用来Training,编号大于400的data用来testing,如果想要严谨一点,可以在Training data里面分一部分validation出来模拟testing的情况

在Training data里面,有79只水系宝可梦,61只一般系宝可梦,那么 P ( C 1 ) = 79 / ( 79 + 61 ) = 0.56 P(C_1)=79/(79+61)=0.56 P(C1)=79/(79+61)=0.56 P ( C 2 ) = 61 / ( 79 + 61 ) = 0.44 P(C_2)=61/(79+61)=0.44 P(C2)=61/(79+61)=0.44

现在的问题是,怎么得到 P ( x ∣ C 1 ) P(x|C_1) P(xC1) P ( x ∣ C 2 ) P(x|C_2) P(xC2)的值

Probability from Class

怎么得到 P ( x ∣ C 1 ) P(x|C_1) P(xC1) P ( x ∣ C 2 ) P(x|C_2) P(xC2)的值呢?假设我们的x是一只新来的海龟,它显然是水系的,但是在我们79只水系的宝可梦training data里面根本就没有海龟,所以挑一只海龟出来的可能性根本就是0啊!所以该怎么办呢?

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其实每一只宝可梦都是用一组特征值组成的向量来表示的,在这个vector里一共有七种不同的feature,为了方便可视化,这里先只考虑Defense和SP Defence这两种feature

假设海龟的vector是[103 45],虽然这个点在已有的数据里并没有出现过,但是不可以认为它出现的概率为0,我们需要用已有的数据去估测海龟出现的可能性

你可以想象说这已有的79只水系宝可梦的data其实只是冰山一角,假定水系神奇宝贝的Defense和SP Defense是从一个Gaussian的distribution里面sample出来的,下图只是采样了79个点之后得到的分布,但是从高斯分布里采样出海龟这个点的几率并不是0,那从这79个已有的点,怎么找到那个Gaussian distribution函数呢?

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Gaussian Distribution

先介绍一下高斯函数,这里 u u u表示均值, Σ \Sigma Σ表示方差,两者都是矩阵matrix,那高斯函数的概率密度函数则是:
f u , Σ ( x ) = 1 ( 2 π ) D 2 1 ∣ Σ ∣ 1 2 e − 1 2 ( x − u ) T Σ − 1 ( x − u ) f_{u,\Sigma}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{D}{2}}}\frac{1}{|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}e^{-\frac{1}{2}(x-u)^T\Sigma^{-1}(x-u)} fu,Σ(x)=(2π)2D1Σ211e21(xu)TΣ1(xu)
从下图中可以看出,同样的 Σ \Sigma Σ,不同的 u u u,概率分布最高点的地方是不一样的

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同理,如果是同样的 u u u,不同的 Σ \Sigma Σ,概率分布最高点的地方是一样的,但是分布的密集程度是不一样的

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那接下来的问题就是怎么去找出这个Gaussian,只需要去估测出这个Gaussian的均值 u u u和协方差 Σ \Sigma Σ即可

估测 u u u Σ \Sigma Σ的方法就是极大似然估计法(Maximum Likelihood),极大似然估计的思想是,找出最特殊的那对 u u u Σ \Sigma Σ,从它们共同决定的高斯函数中再次采样出79个点,使”得到的分布情况与当前已知79点的分布情况相同“这件事情发生的可能性最大

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实际上任意一组 u u u Σ \Sigma Σ对应的高斯函数( u u u表示该Gaussian的中心点, Σ \Sigma Σ表示该Gaussian的分散程度)都有可能sample出跟当前分布一致的样本点,就像上图中的两个红色圆圈所代表的高斯函数,但肯定存在着发生概率最大的哪一个Gaussian,而这个函数就是我们要找的

而极大似然函数 L ( u , Σ ) = f u , Σ ( x 1 ) ⋅ f u , Σ ( x 2 ) . . . f u , Σ ( x 79 ) L(u,\Sigma)=f_{u,\Sigma}(x^1)\cdot f_{u,\Sigma}(x^2)...f_{u,\Sigma}(x^{79}) L(u,Σ)=fu,Σ(x1)fu,Σ(x2)...fu,Σ(x79),实际上就是该事件发生的概率就等于每个点都发生的概率之积,我们只需要把每一个点的data代进去,就可以得到一个关于 u u u Σ \Sigma Σ的函数,分别求偏导,解出微分是0的点,即使L最大的那组参数,便是最终的估测值,通过微分得到的高斯函数的 u u u Σ \Sigma Σ的最优解如下:
u ∗ , Σ ∗ = arg ⁡ max ⁡ u , Σ L ( u , Σ ) u ∗ = 1 79 ∑ n = 1 79 x n      Σ ∗ = 1 79 ∑ n = 1 79 ( x n − u ∗ ) ( x n − u ∗ ) T u^*,\Sigma^*=\arg \max\limits_{u,\Sigma} L(u,\Sigma) \\ u^*=\frac{1}{79}\sum\limits_{n=1}^{79}x^n \ \ \ \ \Sigma^*=\frac{1}{79}\sum\limits_{n=1}^{79}(x^n-u^*)(x^n-u^*)^T u,Σ=argu,ΣmaxL(u,Σ)u=791n=179xn    Σ=791n=179(xnu)(xnu)T
当然如果你不愿意去现场求微分的话,这也可以当做公式来记忆( u ∗ u^* u刚好是数学期望, Σ ∗ \Sigma^* Σ刚好是协方差)

注:数学期望: u = E ( X ) u=E(X) u=E(X),协方差: Σ = c o v ( X , Y ) = E [ ( X − u ) ( Y − u ) T ] \Sigma=cov(X,Y)=E[(X-u)(Y-u)^T] Σ=cov(X,Y)=E[(Xu)(Yu)T],对同一个变量来说,协方差为 c o v ( X , X ) = E [ ( X − u ) ( X − u ) T cov(X,X)=E[(X-u)(X-u)^T cov(X,X)=E[(Xu)(Xu)T

根据上述的公式和已有的79个点的数据,计算出class 1的两个参数:
u = [ 75.0 71.3 ]       Σ = [ 874    327 327    929 ] u= \begin{bmatrix} 75.0\\ 71.3 \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \Sigma= \begin{bmatrix} 874 \ \ 327\\ 327 \ \ 929 \end{bmatrix} u=[75.071.3]     Σ=[874  327327  929]

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同理,我们用极大似然估计法在高斯函数上的公式计算出class 2的两个参数,得到的最终结果如下:

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有了这些以后,我们可以得到 P ( C 1 ) , P ( x ∣ C 1 ) , P ( C 2 ) , P ( x ∣ C 2 ) P(C_1),P(x|C_1),P(C_2),P(x|C_2) P(C1),P(xC1),P(C2),P(xC2)这四个值,就可以开始做分类的问题了

Do Classification!

已有的准备

现在我们已经有了以下数据和具体分布:

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只要带入某一个input x,就可以通过这个式子计算出它是否是class 1了!

得到的结果

通过可视化得到的结果如下:

左上角的图中,横轴是Defense,纵轴是SP Defense,蓝色的点是水系的宝可梦的分布,红色的点是一般系的宝可梦的分布,对图中的每一个点都计算出它是class 1的概率 P ( C 1 ∣ x ) P(C_1|x) P(C1x),这个概率用颜色来表示,如果某点在红色区域,表示它是水系宝可梦的概率更大;如果该点在其他颜色的区域,表示它是水系宝可梦的概率比较小

因为我们做的是分类问题,因此令几率>0.5的点为类别1,几率<0.5的点为类别2,也就是右上角的图中的红色和蓝色两块区域

再把testing data上得到的结果可视化出来,即右下角的图,发现分的不是太好,正确率才是47%

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我们之前用的只是Defense和SP Defense这两个参数,在二维空间上得到的效果不太好,但实际上一开始就提到了宝可梦总共是有6个features的,也许在二维空间上它们是重叠在一起的,但是在六维空间上看它们也许会分得很好,每一个宝可梦都是六维空间中的一个点,于是我们的 u u u是一个6-dim的vector, Σ \Sigma Σ则是一个6*6的matrix,发现得到的准确率也才64%,这个分类器表现得很糟糕,是否有办法将它改进的更好?

Modifying Model

其实之前使用的model是不常见的,你是不会经常看到给每一个Gaussian都有自己的mean和covariance,比如我们的class 1用的是 u 1 u_1 u1 Σ 1 \Sigma_1 Σ1,class 2用的是 u 2 u_2 u2 Σ 2 \Sigma_2 Σ2,比较常见的做法是,不同的class可以share同一个cocovariance matrix

其实variance是跟input的feature size的平方成正比的,所以当feature的数量很大的时候, Σ \Sigma Σ大小的增长是可以非常快的,在这种情况下,给不同的Gaussian以不同的covariance matrix,会造成model的参数太多,而参数多会导致该model的variance过大,出现overfitting的现象,因此对不同的class使用同一个covariance matrix,可以有效减少参数

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此时就把 u 1 u_1 u1 u 2 u_2 u2和共同的 Σ \Sigma Σ一起去合成一个极大似然函数,此时可以发现,得到的 u 1 u_1 u1 u 2 u_2 u2和原来一样,还是各自的均值,而 Σ \Sigma Σ则是原先两个 Σ 1 \Sigma_1 Σ1 Σ 2 \Sigma_2 Σ2的加权

再来看一下结果,你会发现,class 1和class 2在没有共用covariance matrix之前,它们的分界线是一条曲线;如果共用covariance matrix的话,它们之间的分界线就会变成一条直线,这样的model,我们也称之为linear model(尽管Gaussian不是linear的,但是它分两个class的boundary是linear)

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如果我们考虑所有的feature,并共用covariance的话,原来的54%的正确率就会变成73%,显然是有分对东西的,但是为什么会做到这样子,我们是很难分析的,因为这是在高维空间中发生的事情,我们很难知道boundary到底是怎么切的,但这就是machine learning它fancy的地方,人没有办法知道怎么做,但是machine可以帮我们做出来

Three Steps of classification

现在让我们来回顾一下做classification的三个步骤,实际上也就是做machine learning的三个步骤

  • Find a function set(model)

    这些required probability P ( C ) P(C) P(C)和probability distribution P ( x ∣ C ) P(x|C) P(xC)就是model的参数,选择不同的Probability distribution(比如不同的分布函数,或者是不同参数的Gaussian distribution),就会得到不同的function,把这些不同参数的Gaussian distribution集合起来,就是一个model,如果不适用高斯函数而选择其他分布函数,就是一个新的model了

    当这个posterior Probability P ( C ∣ x ) > 0.5 P(C|x)>0.5 P(Cx)>0.5的话,就output class 1,反之就output class 2( P ( C 1 ∣ x ) + P ( C 2 ∣ x ) = 1 P(C_1|x)+P(C_2|x)=1 P(C1x)+P(C2x)=1,因此没必要对class 2再去计算一遍)

  • Goodness of function

    对于Gaussian distribution这个model来说,我们要评价的是决定这个高斯函数形状的均值 u u u和协方差 Σ \Sigma Σ这两个参数的好坏,而极大似然函数 L ( u , Σ ) L(u,\Sigma) L(u,Σ)的输出值,就评价了这组参数的好坏

  • Find the best function

    找到的那个最好的function,就是使 L ( u , Σ ) L(u,\Sigma) L(u,Σ)值最大的那组参数,实际上就是所有样本点的均值和协方差
    u ∗ = 1 n ∑ i = 0 n x i      Σ ∗ = 1 n ∑ i = 0 n ( x i − u ∗ ) ( x i − u ∗ ) T u^*=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n x^i \ \ \ \ \Sigma^*=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n (x^i-u^*)(x^i-u^*)^T u=n1i=0nxi    Σ=n1i=0n(xiu)(xiu)T
    这里上标i表示第i个点,这里x是一个features的vector,用下标来表示这个vector中的某个feature

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Probability distribution

Why Gaussian distribution

你也许一直会有一个疑惑,为什么我们就要用Gaussian的model,而不选择别的分布函数,其实这里只是拿高斯分布函数举一个例子而已,你当然可以选择自己喜欢的Probability distribution概率分布函数,如果你选择的是简单的分布函数(参数比较少),那你的bias就大,variance就小;如果你选择复杂的分布函数,那你的bias就小,variance就大,那你就可以用data set来判断一下,用什么样的Probability distribution作为model是比较好的

Naive Bayes Classifier(朴素贝叶斯分类法)

我们可以考虑这样一件事情,假设 x = [ x 1   x 2   x 3   . . .   x k   . . .   ] x=[x_1 \ x_2 \ x_3 \ ... \ x_k \ ... \ ] x=[x1 x2 x3 ... xk ... ]中每一个dimension x k x_k xk的分布都是相互独立的,它们之间的covariance都是0,那我们就可以把x产生的几率拆解成 x 1 , x 2 , . . . , x k x_1,x_2,...,x_k x1,x2,...,xk产生的几率之积

机器学习系列6-分类问题(概率生成模型)_第18张图片

这里每一个dimension的分布函数都是一维的Gaussian distribution,如果这样假设的话,等于是说,原来那多维度的Gaussian,它的covariance matrix变成是diagonal(对角的),在不是对角线的地方,值都是0,这样就可以更加减少需要的参数量,就可以得到一个更简单的model

我们把上述这种方法叫做==Naive Bayes Classifier(朴素贝叶斯分类法)==,如果真的明确了所有的feature之间是相互独立的,是不相关的,使用朴素贝叶斯分类法的performance是会很好的,如果这个假设是不成立的,那么Naive bayes classfier的bias就会很大,它就不是一个好的classifier(朴素贝叶斯分类法本质就是减少参数)

当然这个例子里如果使用这样的model,得到的结果也不理想,因为各种feature之间的covariance还是必要的,比如战斗力和防御力它们之间是正相关的,covariance不能等于0

总之,寻找model总的原则是,尽量减少不必要的参数,但是必然的参数绝对不能少

那怎么去选择分布函数呢?有很多时候凭直觉就可以看出来,比如宝可梦有某个feature是binary的,它代表的是:是或不是,这个时候就不太可能是高斯分布了,而很有可能是伯努利分布(两点分布)

Analysis Posterior Probability

接下来我们来分析一下这个后置概率的表达式,会发现一些有趣的现象

表达式上下同除以分子,得到 σ ( z ) = 1 1 + e − z \sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}} σ(z)=1+ez1,这个function叫做sigmoid function(S函数)

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这个S函数是已知逻辑函数,现在我们来推导一下z真正的样子,推导过程如下:

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上面的推导过程可能比较复杂,但是得到的最终结果还是比较好的:(当 Σ 1 \Sigma_1 Σ1 Σ 2 \Sigma_2 Σ2共用一个 Σ \Sigma Σ时,经过化简相消z就变成了一个linear的function,x的系数是一个vector w,后面的一大串数字其实就是一个常数项b)

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P ( C 1 ∣ x ) = σ ( w ⋅ x + b ) P(C_1|x)=\sigma (w\cdot x+b) P(C1x)=σ(wx+b)这个式子就解释了,当class 1和class 2共用 Σ \Sigma Σ的时候,它们之间的boundary会是linear的

那在Generative model里面,我们做的事情是,我们用某些方法去找出 N 1 , N 2 , u 1 , u 2 , Σ N_1,N_2,u_1,u_2,\Sigma N1,N2,u1,u2,Σ,找出这些以后就算出w和b,把它们代进 P ( C 1 ∣ x ) = σ ( w ⋅ x + b ) P(C_1|x)=\sigma(w\cdot x+b) P(C1x)=σ(wx+b)这个式子,就可以算概率,但是,当你看到这个式子的时候,你可能会有一个直觉的想法,为什么要这么麻烦呢?我们的最终目标都是要找一个vector w和const b,我们何必先去搞个概率,算出一些 u , Σ u,\Sigma u,Σ什么的,然后再回过头来又去算w和b,这不是舍近求远吗?

所以我们能不能直接把w和b找出来呢?这是下一章节的内容

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