卡特兰数递推公式证明及应用

卡特兰数

定义

在oeis上可以看到卡特兰数的定义如下。

递推公式

f[0] = f[1] = 1

公式1:

f[n]=f[0]f[n-1]+f[1]f[n-2]+...+f[n-1]f[0]'

公式2:

f[n]=f[n−1]∗(4∗n−2)/(n+1)

公式3:

f[n]=C[2n,n]/(n+1)(n=0,1,2,...),C是组合数

公式4:

f[n]=C[2n,n]−C[2n,n−1],C是组合数

应用场景

一共有n对括号'(' ')',求出所有的排列的个数f(n)。（在前i个符号中，左括号数量一定比右括号多）。
显然有f(0)=1; f(1)=1。
借助于这个问题：引入公式的证明

公式1证明

证明：在n对括号的排列中，假设最后一个括号和第i个左括号匹配。则在第i个左括号之前，一定已经匹配上了(i-1)对左括号。如下图，因此，此种情况的数量为f(i-1)*f(n-i-1)。(1<=i<=n)最后一个右括号可以1~n个左括号匹配共n种情况。

因此，对i从1到n的情况求和得到∑f(i-1)f(n-i)，即可得到递推公式1。

公式2证明

通过公式4很容易变换得到，给出公式4的证明。

公式3证明

通过公式4很容易变换得到，给出公式4的证明。

公式4证明

证明:对于给定的n对括号，如果不考虑任意一个前缀序列中的'('不能比'')少这一个条件，则一共有C[2n][n]种结果（2n个位置插入n个右括号）。现在只要删除所有结果中不符合条件的部分即可。
令 g(x) ：前缀x中的左括号数减右边括号数的差。如果不符合条件，一定是在排列中出现了某一点的g(x)<0。
找到第一次出现g(x)=-1的位置，将之后的所有g(x)取反。最终g(n)变为g(n) = -2。
对于任何一种非法情况，做上述变换之后一定会使得g(n) = -2,等价于在最终结果时右括号比左括号多2个。因此非法情况数位C[2n][n+1]
即f[n]=C[2n,n]−C[2n,n−1]=C[2n,n]−C[2n,n+1]。
参考https://www.cnblogs.com/zyt1253679098/p/9190217.html

例题

P1044 栈
hdu1134 Game of Connections（此题用到高精度大数）