卡特兰数递推公式证明及应用

目录

  • 卡特兰数
    • 定义
    • 递推公式
      • 公式1:
      • 公式2:
      • 公式3:
      • 公式4:
    • 应用场景
      • 公式1证明
      • 公式2证明
      • 公式3证明
      • 公式4证明
  • 例题

卡特兰数

定义

在oeis上可以看到卡特兰数的定义如下。
卡特兰数递推公式证明及应用_第1张图片

递推公式

f[0] = f[1] = 1

公式1:

f[n]=f[0]f[n-1]+f[1]f[n-2]+...+f[n-1]f[0]'

公式2:

f[n]=f[n−1]∗(4∗n−2)/(n+1)

公式3:

f[n]=C[2n,n]/(n+1)(n=0,1,2,...),C是组合数

公式4:

f[n]=C[2n,n]−C[2n,n−1],C是组合数

应用场景

一共有n对括号'(' ')',求出所有的排列的个数f(n)。(在前i个符号中,左括号数量一定比右括号多)。
显然有f(0)=1; f(1)=1。
借助于这个问题:引入公式的证明

公式1证明

证明:在n对括号的排列中,假设最后一个括号和第i个左括号匹配。则在第i个左括号之前,一定已经匹配上了(i-1)对左括号。如下图,因此,此种情况的数量为f(i-1)*f(n-i-1)。(1<=i<=n)最后一个右括号可以1~n个左括号匹配共n种情况。
卡特兰数递推公式证明及应用_第2张图片
因此,对i从1到n的情况求和得到∑f(i-1)f(n-i),即可得到递推公式1。

公式2证明

通过公式4很容易变换得到,给出公式4的证明。

公式3证明

通过公式4很容易变换得到,给出公式4的证明。

公式4证明

证明:对于给定的n对括号,如果不考虑任意一个前缀序列中的'('不能比'')少这一个条件,则一共有C[2n][n]种结果(2n个位置插入n个右括号)。现在只要删除所有结果中不符合条件的部分即可。
g(x) :前缀x中的左括号数减右边括号数的差。如果不符合条件,一定是在排列中出现了某一点的g(x)<0
找到第一次出现g(x)=-1的位置,将之后的所有g(x)取反。最终g(n)变为g(n) = -2
对于任何一种非法情况,做上述变换之后一定会使得g(n) = -2,等价于在最终结果时右括号比左括号多2个。因此非法情况数位C[2n][n+1]
f[n]=C[2n,n]−C[2n,n−1]=C[2n,n]−C[2n,n+1]
参考https://www.cnblogs.com/zyt1253679098/p/9190217.html

例题

P1044 栈
hdu1134 Game of Connections(此题用到高精度大数)

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