力扣 96. 不同的二叉搜索树 dp/卡特兰数

https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

思路一：$dp$，设$dp[i]$表示任意$i$个不相等的节点所能组成的二叉搜索树的个数。因为在二叉搜索树中，我们并不关心某个节点的值，而是关心它们之间的大小关系，所以节点$1、2$能组成的二叉搜索树的个数和节点$1、3$能组成的二叉搜索树的个数是相等的。那么对于以$1\dots n$为节点的二叉搜索树，我们可以枚举根节点$i$：当根节点为$i$时，左子树有$i-1$个节点，右子树有$n-i$个节点，所以有：$$dp[i]=\sum _{j=1}^{i}dp[j-1]\ast dp[i-j]$$

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(max(n+1,3));
        dp[1]=1,dp[2]=2;
        if(n<=2)
            return dp[n];
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=2*dp[i-1];    //以1或者n为根节点时的情况总数
            for(int j=2;j<i;j++)
                dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]; //以j为根节点 左子树情况数*右子树情况数
        }
        return　dp[n];
    }
};

思路二：卡特兰数，证明略去。何谓卡特兰数？
$$f(0)=1$$$$f(1)=1$$$$f(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i)\ast f(n-i-1),其中n>=2$$
满足以上条件的数就叫卡特兰数。那么它有一个更为简单的递推公式：$$h(0)=1$$$$h(n)=h(n-1)\ast (4\ast n-2)/(n+1)$$

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if(!n)
            return 0;
        int ans=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans=ans*1ll*(4*i-2)/(i+1);
        return ans;
    }
};