力扣 96. 不同的二叉搜索树 dp/卡特兰数

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力扣 96. 不同的二叉搜索树 dp/卡特兰数_第1张图片

思路一: d p dp dp,设 d p [ i ] dp[i] dp[i]表示任意 i i i不相等的节点所能组成的二叉搜索树的个数。因为在二叉搜索树中,我们并不关心某个节点的值,而是关心它们之间的大小关系,所以节点 1 、 2 1、2 12能组成的二叉搜索树的个数和节点 1 、 3 1、3 13能组成的二叉搜索树的个数是相等的。那么对于以 1 … n 1…n 1n为节点的二叉搜索树,我们可以枚举根节点 i i i:当根节点为 i i i时,左子树有 i − 1 i-1 i1个节点,右子树有 n − i n-i ni个节点,所以有: d p [ i ] = ∑ j = 1 i d p [ j − 1 ] ∗ d p [ i − j ] dp[i]=\sum_{j=1}^{i}dp[j-1]*dp[i-j] dp[i]=j=1idp[j1]dp[ij]

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(max(n+1,3));
        dp[1]=1,dp[2]=2;
        if(n<=2)
            return dp[n];
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=2*dp[i-1];    //以1或者n为根节点时的情况总数
            for(int j=2;j<i;j++)
                dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]; //以j为根节点 左子树情况数*右子树情况数
        }
        return dp[n];
    }
};

思路二:卡特兰数,证明略去。何谓卡特兰数?
f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f(0)=1 f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f(1)=1 f ( n ) = ∑ i = 0 n − 1 f ( i ) ∗ f ( n − i − 1 ) , 其 中 n > = 2 f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1),其中n>=2 f(n)=i=0n1f(i)f(ni1),n>=2
满足以上条件的数就叫卡特兰数。那么它有一个更为简单的递推公式: h ( 0 ) = 1 h(0)=1 h(0)=1 h ( n ) = h ( n − 1 ) ∗ ( 4 ∗ n − 2 ) / ( n + 1 ) h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1) h(n)=h(n1)(4n2)/(n+1)

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if(!n)
            return 0;
        int ans=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans=ans*1ll*(4*i-2)/(i+1);
        return ans;
    }
};

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