Interview100-87.1 大数相乘问题

题目

两个位数很多的数相乘，相乘的结果超出了基本数据类型的存储范围，如何使用算法计算出这两个大数的乘积。例如：求 1234567891011121314151617181920 * 2019181716151413121110987654321 的乘积结果。

解法

思路1：模拟手算乘法的步骤，先将乘数与被乘数逐位相乘，然后将逐位相乘的结果对应位进行累加求和。这种思路虽然简单，但实现起来还是有些复杂。

思路2：考虑另一种思路，将乘数与被乘数进行逐位相乘，但暂时不考虑进位问题，相乘后的结果依然进行逐位相加，对应位的累加的和保存在相应的位置，最后处理进位的问题。

        9  8
×       2  1
-------------
       (9)(8)  <---- 第1趟: 98×1的每一位结果 
  (18)(16)     <---- 第2趟: 98×2的每一位结果 
-------------
  (18)(25)(8)  <---- 这里就是相对位的和，还没有累加进位 

在处理进位的问题时，我们从右到左依次累加，如果和>=10时，对该累加值取商加入到前一位中，然后多累加值取余，即为该数位自己的值，直至处理完所有的累加位。但这种处理进位的方式，由于是自右向左进行，而对每位进行记录时是从左往右的，所有在对进位进行处理时，可能会导致数组的左边界越界。解决这个问题的方式是在进行从左至右累加时，在数组的左侧空余一个位置，以处理后面进位越界的问题。

BIG-NUMBER-MULTIPLY(int[] num1, int[] num2):
    int[] result = new int[num1.length+num2.length];
    for i = 0 to num1.length:
        for j = 0 to num2.lenngth:
            result[i+j+1] += num1[i] * num2[j];

    for k = result.length - 1 to 0:
        if result[k] >= 0:
            result[k-1] += result[k] / 10;
            result[k] = result[k] % 10;
    return result;

这种方法中没有处理负号的问题，对于负值的问题，需要统计一下两个乘数中的负号的个数。

其他方法

关于该问题还有很多优秀的求解方法并且时间复杂度有降低，以上的两个思路的时间复杂度都是O(n*n)。

• 分治乘法：最简单的是Karatsuba乘法，一般化以后有Toom-Cook乘法；
• 快速傅里叶变换FFT：（为了避免精度问题，可以改用快速数论变换FNTT），时间复杂度O(N lgN lglgN)。
• 中国剩余定理：把每个数分解到一些互素的模上，然后每个同余方程对应乘起来就行；
• Furer’s algorithm：在渐进意义上FNTT还快的算法。

参考：https://blog.csdn.net/u010983881/article/details/77503519