Bloom Filter 系列改进之Counting Bloom Filter

    Bloom Filter的出现，使得海量数据搜索的效率提高了非常多，大家针对简单的Bloom Filte存在的各种局限进行分析，从而得到了不同的演化版本，本文针对这些演化版本进行粗略分类与介绍，简要说明各类演化版本的优缺点。

    1.Counting Bloom Filter

    简单的Bloom Filter中位向量中的各个位由于只有0，1两种数值，而不同的元素经过Hash后可能得到相同的位编号，这样一来多个元素都把该位置的值置为1，这种情况在数据量很大的情况下非常普遍，所以，如果表达的元素集合经常发生删除等变动，那么Bloom Filter的弊端就出来了，因为它不支持删除操作...

    Counting Bloom Filter的出现解决了这个问题，它将标准Bloom Filter位数组的每一位扩展为一个小的计数器(Counter)，在插入元素时给对应的k(k为哈希函数个数)个Counter的值分别加1，删除元素时给对应的k个Counter的值分别减1，Counting Bloom Filter通过多占用几倍的存储空间的代价，给Bloom Filter增加了删除操作。

    上述公式为计算第i个Counter被增加j次的概率，其中n为集合元素个数，k为Hash函数个数，m为Counter

个数(对应着原来位数组的大小)，前一部分表示从nk次哈希中选择j次，中间部分表示j次哈希都选中了第i个Counter，后一部分表示其它nk–j次哈希都没有选中第i个Counter，因此，第i个Counter的值大于j的概率可以限定为：

    其中的第二次缩放用到了估计阶乘的斯特林公式：

    在前面我们提到过k的最优值为(ln2)m/n，现在我们限制k ≤(ln2)m/n，就可以得到如下结论：

    如果每个Counter分配4位，那么当Counter的值达到16时就会溢出。这个概率为：

    这个值足够小，因此对于大多数应用程序来说，4位就足够了。

    2.Spectral Bloom Filter

   Counting Bloom Filter将位数组中的每一位扩展为一个counter，从而支持了元素的删除操作。一旦位扩展成了counter，每一个counter就不仅能表示这一地址有无映射，还能表示映射的个数。这一扩展使得存储的数据包含了更多信息，然而遗憾的是，CBF仅仅利用这个扩展支持了删除操作，并没有将信息中蕴含的潜力完全挖掘出来。

    标准的bloom filter和CBF解决的只是集合元素的membership问题，即判断一个元素是否属于某个集合，但有时我们不但想知道集合中是否存在一个元素，我们还想知道这个元素在集合中的出现次数，例如在一些数据流(data stream)应用中，我们关心的也许不是一个数据元素是否属于某个集合，而是它的出现频率。很自然地，我们希望能从counter中得到这些信息，但是，counter反映的只是映射数，如何将其与集合元素的出现次数关联呢？

    在CBF中加入一个元素时，k个哈希位置的counter都要加1，也就是说，如果不考虑碰撞(collision)，出现次数为n的元素对应的k个counter的值都为n。即使考虑到碰撞的因素，只要k个位置不全出现碰撞，k个counter中的最小值仍是n。令元素x对应的k个counter的最小值为m_x，x的出现频率为f_x，从上面的分析我们不难看出，f_x ≠ m_x的概率和标准bloom filter的false positive概率相同，因为二者出现的充要条件都是k个哈希位置同时出现碰撞。

    上面这个结果其实就是SBF的理论基础。SBF扩展了CBF，使得用户不但可以进行membership query，还可以查询集合元素的出现频率。在查询元素x的出现频率时，SBF返回m_x，出错的概率和false positive rate相同。注意，由于f_x ≤ m_x，所以查询的结果即使不准，也可以得到一个上界，而且这个上界和实际值f_x一般情况下不会相差太远。

    为实现counter的高效存储，我们先简化问题，来看最少需要多少位才能存储所有的counter。假设SBF要表示M个元素的集合（可能包含重复元素），counter数组的长度为m（对应bloom filter的位数组），显然所有counter需要的最少位数N为

    其中Ci表示counter数组中第i个counter的大小，即哈希函数映射到第i位的次数。用N位存储counter，其实相当于把所有的counter化成二进制位串然后连在一起。这样当然占用的位数最少，但如何访问长度不一的counter是个大问题。不管怎么样，在不考虑增删操作的情况下，我们想要达到的目标就是在保证查询操作快速的基础上，使得存储位数尽量接近N。

    SBF并没有发明什么异乎寻常的高超技巧，和你大概能想到的一样，它构建了一套索引结构。首先SBF将N位的基本位串分成m/log2N段，每一段包含log2N个counter，然后将每一段的offset记下来，offset要占用log2N位，所以记录子串offset的数组（文中叫Coarse Vector）总长度为m位。

    有了Coarse Vector，我们就可以随机访问任何一个子串了。这时我们有两种选择，要么把子串继续分成子段，要么将子串中所有counter的offset记下来，子串有长有短，但所含counter个数相同，也就是记录counter的offset数组长度相同，这就意味着把长子串用来记录offset比较划算。SBF规定子串长度超过log3N位的，直接用offset数组记录counter位置，否则再继续分。N位基本位串中最多有N/log3N个长度不超过log3N的子串，所以在这一层所有的offset数组加起来长度最多为N/log3N× (logN ×logN) = N/logN位。

    长度不超过log3N位的子串，我们将其再分成loglogN段，每一段包含logN/loglogN个counter。由于offset要占用loglog3N = 3loglogN位，所以整个offset数组总长度为3loglogN×logN/loglogN = 3logN位。这一层所有的offset数组加起来长度最多为m/logN× 3logN＝ 3m位。

    并不是子串的每一个子段都用offset数组来存储counter的位置，和前面一样，仍然只记录较长的子段。假设子段长度为T，这里的阀值设为T0 = (loglogN)3，当T > T0时，子段的counter位置用offset数组记录。由于子段包含loglogN个counter，且每一个offset可以用3loglogN位表示，因此offset数组的长度最多为loglogN× 3loglogN ＝3(loglogN)2 « T。这一层的所有的offset数组长度加起来也不过O(N)。

    现在就剩了T ≤ T0的情况，这时SBF也不继续分了，而是将所有这类情况存储在一个全局查询表里。总之，在不考虑增删操作的情况下，SBF的counter存储所要达到的目标就是只使用O(N) + O(m)位，构建时间为O(m)。通过上面构建的复杂的索引结构，这个目标是达到了。下面我们来看增删操作如何在这样的结构上实现。

    我们介绍到SBF将所有counter排成一个位串，counter之间完全不留空隙，然后通过建立索引结构来访问counter。现在我们来扩展这个结构，使之能支持增加和删除操作。删除操作相对来说比较好处理，因为它不会导致存储空间的增加。但是也不能坐视不管，因为大量的删除操作会导致本该释放的空间仍然被占用。SBF采取的策略是，单个删除操作只影响相关的counter，整个存储结构并不更新，但经过一系列连续的删除操作后，整个存储结构会被重建。

     增加操作稍微麻烦点，因为它意味着原来分配的存储空间不再够用。SBF采取的应对策略有点像我们平时排工作计划时留buffer的做法。我们在安排工作时，如果一件事估计需要10天才能做完，我们写计划时不会写成刚好10天，因为事态的发展有太多动态变化的因素。我们会在计划里给自己留一点buffer，将10天的工作写成12天。 

     SBF处理增加操作时也采取相似的策略，它给原本只需要N位的基本位串增加єm（є > 0，m为counter个数）位的buffer，以应对将来可能出现的增加操作。SBF将这єm位buffer插入到m个counter之间，每1/є个counter增加1位buffer。当某个counter需要更多位数时，它就找离自己最近的buffer位。如果找到的buffer位就在自己的尾部，就直接用掉它；如果隔了一个或几个counter，它就将隔的这几个counter往后“推”，然后使用腾出来的buffer位。最后，counter移动之后，别忘了索引结构也需要更新。

     总而言之，SBF是一种扩展版的Counting Bloom Filter，它不仅支持membership query，还支持元素在multi-set中的出现频率查询。实际上，前者只是后者的一种特例，membership query无非是元素出现频率为1的查询。元素出现频率用k（哈希函数个数）个counter中的最小值来近似表示。这种近似使得一个元素对应的k个counter中，最小的那个比其它的更有价值。

    3.Dynamic Count Filter

   Spectial Bloom Filter在Count Bloom Filter的基础上提出了元素出现频率查询的概念，将CBF的应用扩展到了multi-set的领域。但是，SBF为解决动态counter的存储问题，引入了复杂的索引结构，这让每个counter的访问变得复杂而耗时，有没有一种解决方案既支持元素出现频率查询，结构又相对比较简单呢？Dynamic count filter（DCF）尝试回答了这个问题。

要支持元素出现频率查询，就需要解决变化范围可能很大的counter的存储问题。DCF和SBF的不同之处，也就是counter的存储结构。DCF使用两个数组来存储所有的counter，它们的长度都为m（即bloom filter的位数组长度）。第一个数组是一个基本的CBF（即下图中的CBFV，counting bloom filter vector），counter的长度固定，为x = log(M/n)，其中M是集合中所有元素的个数，n为集合中不同元素的个数。第二个数组用来处理counter的溢出（即下图中的OFV，overflow vector），数组每一项的长度并不固定，根据counter的溢出情况动态调整。假设OF_j是OFV中某一项的值，那么OFV中每一项的长度y = floor(log(max(OF_j))) + 1，即最大值决定了每项长度。

 

上图中最右一列是counter的值，从图中我们可以清楚地看出OFV和CBFV的作用。比如第5个counter的值是1026，二进制为10000000010。我们把这个二进制位串分成两段100和00000010，分别就对应着OFV和CBFV中的值。图中我们也可以看出x + y就等于counter的最大值的二进制位数。

在查询一个counter时，DCF要求两次内存访问。假设想查询位置为j的counter的值，我们先读出CBFV和OFV的值，分别为C_j和OF_j，那么counter的值就可以表示为V_j = (2^x×OF_j ＋ C_j)。

 在集合增加元素时，如果OFV的最大值从2^x – 1增加到2^x，OFV就需要给每一项增加1位，否则就会溢出。每次OFV大小改变的时候都需要重建。重建是一件开销很大的工作，必须重新创建一个OFV数组，然后把旧OFV数组的值拷贝到新建的OFV数组中，最后把旧OFV数组的空间释放掉。如果说增加时的overflow必须重建的话，那么集合元素减少时的underflow则有更多选择。当OFV的最大值从2^x减少到2^x – 1时，我们可以选择马上重建OFV，也可以采用一些策略延迟OFV的重建，以避免一些临时性的减少导致OFV反复重建。

 从上面的介绍可以看出，DCF中最大的那个counter决定了整个结构所占的空间。因此，在counter的值普遍不大的情况下，DCF由于不用维护复杂的索引结构，所以占用空间比SBF要少。如果将counter的值逐渐增大，SBF在空间占用上的优势就会越来越明显。在counter存取时间上，DCF占有绝对的优势，只比CBF多访问了一次内存。在不同的实际应用场合中对比SBF和DCF，论文作者发现DCF整体占用的空间以及执行时间都比SBF少了一半还多。最后，我们给出一个将CBF、SBF和DCF定性比较的表格：

参考文献：

Dynamic Count Filterhttp://blog.csdn.net/jiaomeng/article/details/1543751

http://www.sigmod.org/sigmod/record/issues/0603/p26-article-pey.pdf

Count Bloom Filter技术研究及应用newhttp://wenku.baidu.com/link?url=0Djx5syWrKnzmZ8shXtyoBupI1gly4707Gvsl2KpjP2Q4ns1XgZvkBqrpdmeSRISJiqSDsTMwjHd-xChejBcJQpyKdBchk9arvsqGXkefS_