LBM中的straight boundary及部分代码(以D2Q9为例)

本文将从何雅玲老师的《格子Boltzmann方法的理论和应用》、Yuanxun Bill&Justin Meskas 的《Lattice Boltzmann Method for Fluid SImulations》、Timm Kruger 的《The Lattice Boltzmann Method》以及默罕默德的《格子玻尔兹曼方法——基础与工程应用(附计算机代码)几本书中挑选一些重要的或常用到的直边界进行介绍。

值得一提的是,Timm Kruger里把边界分成两类:link-wise和wet-node。他俩的区别可见下图。Link-wise包括反弹边界条件,wet-node包括平衡格式,非平衡插值格式,非平衡反弹格式等。而何雅玲老师和穆罕默德的《格子玻尔兹曼方法——基础与工程应用(附计算机代码)》等里并没有这两个概念。

LBM中的straight boundary及部分代码(以D2Q9为例)_第1张图片

在边界条件中应注意未知的是哪几个方向的分布函数,左边界是f1 f5 f8,右边界是f3 f6 f7,上边界是f4 f7 f8,下边界是f2 f5 f6。当然,在每个边界上也可以把个方向的分布函数都给定,这并没有什么影响(这段话主要是针对我学习时搞不懂为什么有的人给了3个,有的给了4个,有的给了8个。。。。后来才发现多给了是不要紧的)。

角点处需要特殊处理,有时往往是角点处理不好导致计算发散或结果不理想。角点处会专门介绍。

 

  1. 周期性边界

(1)标准周期性边界

适用条件:流场在空间呈现周期性变化或在某个方向无穷大(注意:是流场呈周期而不是几何呈周期)

表达式:周期性边界常常需要在左右两侧增加虚拟节点x0和xN+1

LBM中的straight boundary及部分代码(以D2Q9为例)_第2张图片

代码:注意每种语言的下角标不同

for (j = 1; j < NY; j++)

{

    f[0]][j][1] = f[NX+1][j][1];

    f[0]][j][5] = f[NX + 1][j][5];

    f[0]][j][8] = f[NX + 1][j][8];

}

尽管Timm里也提到了一种不需要虚拟节点的周期性边界,但仍建议使用虚拟节点。因此在此不介绍无虚拟节点的周期性边界。

(2)广义周期性边界条件

适用条件:速度呈现周期性但压力场/速度场非周期

表达式:分布函数分解成两部分——平衡态和非平衡态

 

平衡态部分:

非平衡态部分:

LBM中的straight boundary及部分代码(以D2Q9为例)_第3张图片

 

 

因此可得:

LBM中的straight boundary及部分代码(以D2Q9为例)_第4张图片

2、反弹格式

适用条件:固体壁面,无滑移。其主要思想是:分布函数在迁移过程中撞到固体壁面后原路弹回。

(1)标准反弹格式

2个时间步完成迁移-反弹-迁移的过程

(2)半步长反弹

1个时间步内完成迁移-反弹-碰撞的过程

LBM中的straight boundary及部分代码(以D2Q9为例)_第5张图片

3)静止壁面

以下边界为例:需要确定的是f2 f5 f6

LBM中的straight boundary及部分代码(以D2Q9为例)_第6张图片

代码:

for (i = 0; i <= NX; i++)

         {

                   f[i][0][2] = f[i][0][4];//下边界

                   f[i][0][5] = f[i][0][7];

                   f[i][0][6] = f[i][0][8];

}

4)移动壁面

rhow是流体在固体壁面处的速度,与固体的实际物密度无关。可以是局部流体密度,或者系统平均密度。

 

总结:

  1. 对于稳态流动,标准反弹与半步长反弹结果接近;但对于非稳态流动,半步长反弹更准确;通常认为标准反弹是一阶精度,半步长反弹是二阶精度;半步长反弹的另一个优点是不需要固体node,遇到边界后直接弹回
  2. 建议使用半步长反弹
  3. 反弹格式优点:稳定,对于静止壁面严格保证质量守恒
  4. 缺点:当反弹格式与BGK模型一起使用时,无滑移边界实际位置与粘度有关(?)

 

3、非平衡态反弹格式(Zou-He边界)

以速度边界为例。

联立质量守恒、x方向动量守恒、y方向动量守恒三个关系式,并假设与边界垂直的方向上,反弹格式对非平衡部分仍然成立。可得:

西边界:

代码:

for (j = 1; j < NY; j++)

         {

                   u[0][j][0] = U;

                   u[0][j][1] = 0;

                   rho[0][j] = (f[0][j][0] + f[0][j][2] + f[0][j][4] + 2 * (f[0][j][3] + f[0][j][6] + f[0][j][7])) / (1 - U);

                   f[0][j][1] = f[0][j][3] + 2 * rho[0][j] * U / 3;

                   f[0][j][5] = f[0][j][7] + rho[0][j] * U / 6;

                   f[0][j][8] = f[0][j][6] + rho[0][j] * U / 6;

}

4、非平衡态外推格式

将分布函数分成平衡态和非平衡态两部分。

平衡态部分:使用边界节点上宏观物理量求得,如果边界节点上的值未知,则使用内部相邻节点的值替代。

非平衡态部分:用内部相邻节点的非平衡部分替代

代码:

左右边界:

for (j = 1; j < NY; j++)

                            for (k = 0; k < Q; k++)

                            {

                                     rho[NX][j] = rho[NX - 1][j];   //右边界

                                     u[NX][j][0] = u[NX - 1][j][0];

                                     u[NX][j][1] = u[NX - 1][j][1];

                                     f[NX][j][k] = feq(k, rho[NX][j], u[NX][j]) + f[NX - 1][j][k] - feq(k, rho[NX - 1][j], u[NX - 1][j]);

 

                                     rho[0][j] = rho[1][j];         //左边界

                                     u[0][j][0] = U;

                                     u[0][j][1] = 0;

                                     f[0][j][k] = feq(k, rho[0][j], u[0][j]) + f[1][j][k] - feq(k, rho[1][j], u[1][j]);

                            }

上下边界:

for (i = 0; i <= NX; i++)

                    for (k = 0; k < Q; k++)

                    {

                             u[i][0][0] = 0;//下边界

                             u[i][0][1] = 0;

                             rho[i][0] = rho[i][1];

                             f[i][0][k] = feq(k, rho[i][0], u[i][0]) + f[i][1][k] - feq(k, rho[i][1], u[i][1]);

 

                             rho[i][NY] = rho[i][NY - 1]; //上边界

                             u[i][NY][0] = 0;

                             u[i][NY][1] = 0;

                             f[i][NY][k] = feq(k, rho[i][NY], u[i][NY]) + f[i][NY - 1][k] - feq(k, rho[i][NY - 1], u[i][NY - 1]);

                    }

5、开放边界条件

(1)出口速度未知,通常采用外插法来求未知的分布函数

如右边界:

LBM中的straight boundary及部分代码(以D2Q9为例)_第7张图片

 

 

 

但是,在某些条件下,上述边界条件可能会产生不稳定解,使用一阶内插法比二阶内插法具有更高的稳定性。

代码:

for (j = 1; j < NY; j++)

         {

                   u[NX][j][0] = u[NX - 1][j][0];

                   u[NX][j][1] = 0;

                   rho[NX][j] = rho[NX - 1][j];

                   f[NX][j][3] = 2 * f[NX - 1][j][3] - f[NX - 2][j][3];

                   f[NX][j][6] = 2 * f[NX - 1][j][6] - f[NX - 2][j][6];

                   f[NX][j][7] = 2 * f[NX - 1][j][7] - f[NX - 2][j][7];

         }

(2)另一种方法是假设边界上的压力已知,及密度rho已知。通常,边界上的密度需要设定为常数(如1)。

LBM中的straight boundary及部分代码(以D2Q9为例)_第8张图片

 

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