三角形的内角和等于180°？不对！

★ “三角形内角和等于180°”，这对于我们来说是再熟悉不过的一个常识，陈省身教授从一个不同的角度去看待这个问题，并将这个问题延伸推广，于1944年，找到了一般曲面上封闭曲线方向改变量总和的公式（高斯—比内—陈公式），把几何学引入了新的天地，被誉为划时代的贡献。

★ 美籍华人陈省身教授是当代举世闻名的数学家，他十分关心祖国数学科学的发展。人们称赞他是“中国青年数学学子的总教练”。

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1980年，陈教授在北京大学的一次讲学中语惊四座：

“人们常说，三角形内角和等于180°。但是，这是不对的！”

大家愕然。怎么回事？三角形内角和是180°，这不是数学常识吗？

接着，这位老教授对大家的疑问作了精辟的解答：

说“三角形内角和为180°”不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当 说“三角形外角和是360°”！

把眼光盯住内角，只能看到：

三角形内角和是180°；

四边形内角和是360°；

五边形内角和是 540°；

…………

n边形内角和是（n－2）×180°。

这 就找到了一个计算内角和的公式。公式里出现 了边数n。

如果看外角呢？

三角形的外角和是360°；

四边形的外角和是360°；五边形的外角和是360°；

…………

任意n边形外角和都是360°。

这就把多种情形用一个十分简单的结论概况起来了。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。

设想一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子（图1）。每经过一个顶点，它前进的方向就要改变一次，改变的角度恰好是这个顶点处的外角。爬了一圈，回到原处，方向和出发时一致了，角度改变量之和当然恰好是360°。

图1

这样看问题，不但给“多边形外角和等于 360°”这条普遍规律找得到了直观上的解释，而且立刻把我们的眼光引向了更宽广的天地。

一条凸的闭曲线——卵形线，谈不上什么内角和与外角和。可是蚂蚁在上面爬的时候，它的方向也在时时改变。它爬一圈，角度改变量之和仍是360°（图2）。

图2

“外角和为360°”，这条规律适用于封闭曲线！不过，叙述起来，要用“方向改变量之和”来代替“外角和”罢了。

对于凹多边形，就要把“方向改变量总和”改为“方向改变量的代数和”（图3）。不妨约定：逆时针旋转的角为正角，顺时针旋转的角为负角。当蚂蚁在图示的凹四边形的边界上爬行的时候，在A₁,A₂,A₄处，由方向的改变所成的角是正角：∠1，∠2，∠4；而在A₃处，由方向的改变所成的角是负角：∠3。如果你细细计算一下，这4个角正负相抵，代数和恰是360°。

图3

上面说的都是平面上的情形，曲面上的情形又是怎么样呢？地球是圆的。如果你沿着赤道一直向前走，可以绕地球一圈回到原地。但在地面上测量你前进的方向，却是任何时刻都没有变化。也就是说：你绕赤道一周，方向改变量总和是0°！

圈子小一点，你在房间里走一圈，方向改变量看来仍是360°。

不大不小的圈子又怎么样呢？如果让蚂蚁沿着地球仪上的北回归线绕一圈，它自己感到的（也就是在地球仪表面上测量到的）方向的改变量应当是多少呢？

用一个圆锥面罩着北极，使圆锥面与地球仪表面相切的点的轨迹恰好是北回归线（图4）。这样，蚂蚁在球面上的方向的改变量和在锥面上方向的改变量是一样的。把锥面展开成扇形，便可以看出，蚂蚁绕一圈，方向改变量的总和，正好等于这个扇形的圆心角（图5）：

图4

图5

要弄清楚这里面的奥妙，不妨看看蚂蚁在金字塔上沿正方形爬一周的情形（图6）。

图6

它的方向在拐角处改变了多大角度？把金字塔表面摊平了一看便知：在B处改变量是180°-（∠1+∠2）；绕一圈，改变量是

4×180°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8）

=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA

这个和，正是锥面展形后的“扇形角”（图7）！

图7

早在2000多年前，欧几里德时代，人们就已经知道三角形内角和是180°。到了19世纪，德国数学家、被称为“数学之王”的高斯，在对大地测量的研究中，找到了球面上由大圆弧构成的三角形内角和的公式。又经过几代数学家的努力，直到1944年，陈省身教授找到了一般曲面上封闭曲线方向改变量总和的公式（高斯—比内—陈公式），把几何学引入了新的天地。由此发展出来的“陈氏类”理论，被誉为划时代的贡献， 在理论物理学上有重要的应用。

从普通的、众所周知的事实出发，步步深入、推广，挖掘出广泛适用的深刻规律。从这里显示出数学家透彻、犀利的目光，也表现了数学家穷追不舍、孜孜以求的探索真理的精神。

∑编辑 | Gemini

来源 | 《数学家的眼光》

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