2015年国际奥数平面几何题欣赏

欣赏下吧，欣赏而已。我也做不出来。

先来一道

已知： ΔABC 是锐角三角形，它的边 AB>AC ; H 是它的垂心; M 是 BC 的中点; F 是 BC 边上的垂足; ⊙γ 是 ΔABC 的外接圆;
D 是 AH 的中点; 以 AH 为直径的圆跟 ⊙γ 相交于 A 、 Q 两点；
以 QH 为直径的圆为 ⊙β , 它与 ⊙γ 交于 Q 、 K 两点；
⊙α 是 ΔKFM 的外接圆。
假设 ⊙γ 上互不重叠的点从 A 开始顺时针次序依次是 A 、 Q 、 K 、 C 、 B 。

求证： ⊙α 和 ⊙β 相切。

据说证明涉及到“九点圆”，我搜了下，果然，已知条件中的很多几何要素都可以牵涉到这个冷僻概念。说冷其实也不冷，在单墫等人的奥数竞赛教材中这些知识点据说是常见的。

证明似乎不难。从红色九点圆有三个明显的内接直角三角形，可以发现容易找到三条直径。任意确定一个圆和直径，证明第四点跟直径上两点也为直角三角形则可以；进而四点四点地证明共圆，凑合着凑合着也就够了。
性质应该很漂亮

九点圆具有许多有趣的性质，例如：
1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；
2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；
3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；
4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。
5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。
九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。
设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
那么重心坐标为：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。

因为圆比较多,我觉得如果用反演来做应该能行; 可是反演只是一个几何变换而已，仅在极少特殊情况下能降低难度，看来得收回这句话

另起一题

ΔABC 外接圆 ⊙α 圆心为 O ； D,E 是 BC 上到 A 等距的两个点。 β 是以 A 为圆心过 D,E 的圆。 α 和 β 两圆交点 F,G 。 ΔBDF 的外接圆 交 AB 于 B,K 两点； ΔECG 的外接圆 交 AC 于 C,L 两点。 X 是 FK 和 GL 延长线交点。两个圆 α,β 上点的次序如图所示。

求证： A,X,O 三点共线。