Machine Learning笔记——多变量线性回归

在之前的单变量线性回归问题中，我们是通过房屋的大小来作为预测房屋价格。但是我们知道了很多其他的变量，例如卧室的数量，楼层的数量，房子的年龄等。

那么之前的假设函数就会不再之前的函数表达式，取而代之的是：

下面是重新该写后的假设函数的形式：

为了简化方便，涉及初始的x_0=1，

以上就是多元线性回归。多元——使用多个特征值或者是变量来预测Y的值。

使用梯度下降法来处理多元线性回归问题

执行偏导数之后如下：

梯度下降法的应用实例——特征缩放的方法
特征缩放前后，相对应的代价函数的图形也会随之不同。

一般地，当我们执行特征缩放的时候，通常的目的是：将特征的取值约束到-1到+1的范围内。特征x_0总是等于1，也总是在此范围之内，但对于其他的特征而言，可以通过其他的分数使得它处于同一范围内，特征的值要控制在非常小的范围内。但是不能太小，也不能太大。

不用过于担心特征是否在完全相同的范围或者是区间内，但是只要它们之间足够接近的话，梯度下降法就会正常地运行。

除了将特征除以最大值以外，在特征缩放中，会使用特征均一化的操作。

对于α而言，不同的数值造成的图形结构也是不一样的。例如
当α很小的时候，我们可以看到曲线达到一定的迭代次数之后就收敛，或者说找到一个合适的阈值ε也是很困难的，为了检查梯度下降算法是否收敛，可以从图中直接看得出收敛。而不是依靠自动收敛测试。

一般来说，我们可以从图形中直接可以看得出算法有没有正常地运行。例如：α过大，就会出现以下的图形：

总结：
如果α太小的话，就会遇到收敛速度很慢的问题，如果α太大的话，代价函数T(θ)可能不会在每次迭代都下降。甚至可能会不收敛。也会有一些情况，就是如果学习率α过大，也有可能会出现收敛缓慢，但是代价函数T(θ)并不会在每次迭代之后都下降。但是通常情况下，通常绘制T(θ)随迭代步数变化的曲线。

继续拿预测房价为例，除了之前的特征之外，还有其他新的特征值

多项式回归的问题
例如：我们有如下图所示预测房子的价格的数据集，可能会有多个不同的模型用于拟合。选择之一就是二次模型，因为直线似乎并不能很好地去拟合这些数据。然而二次函数最终会下降，为了能够拟合数据集的变化，会继续使用三次方的函数，这样子就不会下降。

对于这样子的多元线性回归，做一下简单的修改来实现：

但是除了三次函数的拟合之外，采用二次函数，我们不希望说因为房子的面积的增加而导致房子的价格还下降。所以就可以使用

由于根式的图像是上升的，最后趋于平缓状态，也是可以拟合所给的数据集。

正规方程
对于某些线性回归问题，会给我们更好的方式去得到未知参数θ的最优解。
在之前优质使用的方法——梯度下降法中，为了得到最小化代价函数T(θ)，会使用迭代算法。通过梯度下降的多次迭代来收敛到全局最小值。
实例：

例如：假设我们有四个训练样本，这四个训练样本就是所有的数据。我们所要做的是在数据集中，加入一列来对应额外的特征变量x_0，取值永远都是1。
接下来就是构建一个矩阵X（m*（n+1）维矩阵），矩阵X包括了训练样本中的所有数据，也构建一个向量y（m维向量）。其中m是训练样本数量，n和n+1是特征变量数

在一般情况下，假设我们有m个训练样本。其中的X称为设计矩阵（designed Matrix）

为了能够明白下列式子，作了具体的说明：

在Octave或者是MATLAB中，具体的实现方式如下：
Pinv(X’X)X’*y

使用了正规方程，那我们直接不用特征缩放的方法。

至于什么时候正规方程和特征缩放呢？可以根据以下优缺点来判断：

假设我们有m个训练样本，n个特征变量

使用octave绘制正余弦曲线图：

使用octave的示例代码如下：

t=[0:0.01:0.98];
y1=cos(2*pi*4*t);
plot(t,y1)

y2=sin(2*pi*4*t);
plot(t,y2)

再次绘制了正切函数之后的图像如图所示：

例如：使用magic函数
A=magic（5）
imagesc（A）

使用octave程序写控制语句
例如

for i=1 :10 ;
v(i)=2^i ;
end ;

indices=1 :10
所以
for i=indices；

Reference:

  吴恩达 机器学习课程