五大常用算法——动态规划

基本概念：
　　动态规划过程：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
基本思想：
　　类似于分治算法（后续博客介绍），将一个待求解的问题分解成若干个子问题，顺序求解每个子问题，前一个子问题的解包含后一个子问题有用的信息。求解每一个子问题的最优解，则最后一个子问题的解就是初始问题的解。
　　动态规划问题求解过程中会出现子问题重叠的问题（就是重复计算子问题），我们可以利用一个二维数组将每一个子问题的解记录下来，这样就减少了计算次数。动态规划算法的核心是记住已经求过的解，记住求解的方式有两种：①自顶向下的备忘录法 ②自底向上：
　　比如我们熟悉的斐波拉契数列问题：指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)
　　
　　递归树中的每一个子节点都会执行一次，很多重复的节点被执行，fib(2)被重复执行了5次。由于调用每一个函数的时候都要保留上下文，所以空间上开销也不小。这么多的子节点被重复执行，如果在执行的时候把执行过的子节点保存起来，后面要用到的时候直接查表调用的话可以节约大量的时间。
　　（１）自顶向下的备忘录

public class Fibonacci {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m[] = new int[n + 1];
        for(int i =0;i <= n; i++){
            m[i] = -1;
        }
        System.out.println(fib(n, m));
    }
    public static int fib(int n, int[] m){
        if(m[n] != -1){
            return m[n];
        }
        if(n <= 2){
            m[n] = 1;
        }else{
            m[n] = fib(n - 1, m) + fib(n - 2, m);
        }
        return m[n];
    }
}

（２）自底向上

 public static int fib1(int n){
        if(n <= 1) {
            return n;
        }
        int m_i_2 = 0;
        int m_i_1 = 1;
        int m_i = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            m_i = m_i_1 + m_i_2;
            m_i_1 = m_i;
            m_i_2 = m_i_1;
        }
        return m_i;
    }

动态规划问题的性质：
　　(1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
　　(2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
　（3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。
求解步骤：
（1）分析最优解的性质，并刻画其结构特征。
（2）递归的定义最优解。
（3）以自底向上或自顶向下的记忆化方式（备忘录法）计算出最优值
（4）根据计算最优值时得到的信息，构造问题的最优解