爱因斯坦和高中几何问题

65年前火起来的著名物理学者回答好莱坞高中生的一封信

原文作者：David Topper 、Dwight E. Vincent

翻译作者：算法与数学之美翻译组成员   校对：算数君

 

图 1爱因斯坦在1953年公开发表他的统一场理论，数月之前给一位急切的高中生回了一封信

1952年5月初，时年73岁的阿尔伯特·爱因斯坦短暂从他对统一场理论三十多年的探索中解脱出来，帮助一个14岁的小女孩解决一些高中几何问题。

寻求帮助的请求来自于洛杉矶西湖女子学校高中二年级的学生Johanna Mankiewiczs。Johanna是曾经和Orson Welles共同撰写过著名电影《公民凯恩》剧本的编剧Herman Mankiewicz的女儿。她的叔叔是著名制作人兼导演的Joseph Mankiewicz。她的一些同学，像Jane Fonda后来都成为了电影明星。

Johanna在好莱坞的学习生活环境可能有助于接触当时美国科学界最大的名人，因为当她和她的几何学同学被一个棘手的作业难题困扰时，她想到了阿尔伯特·爱因斯坦。毫无疑问，像爱因斯坦这样的人显然要比从不为人知的西湖数学老师要强得多。她在给爱因斯坦的邮件中写道：“我意识到你是一个非常忙碌的人，但是你是我唯一知道谁能够给我们提供答案的人。”在向爱因斯坦阐述她所遇到的难题时，她还注释说：“我认为你会同意我的看法的，这是最难的问题之一！”

虽然Johanna不知道，但爱因斯坦的确习惯于回答那些他认为真实来自公众孩子们的信。他经常会在纸上写下一个答复，然后由他的私人秘书Helen Dukas进行书面回复或者直接发出爱因斯坦所写下的答复。

• 一个令人费解的回复

事实上，Johanna寻求帮助的是一个标准的欧几里德几何问题，涉及到毕达哥拉斯定理的应用。在当时的任何一本高中数学书中都可能找到这样一个问题：“半径为8英寸和2英寸的两个外切圆的共同相切线的长度是多少？”

爱因斯坦用Johanna的信纸背面写下了他的回复，并使用航空公司来寄回信件。但是爱因斯坦忘记了使用正确的邮资6美分，或者他用完了自己的邮票。并且发扬自己固有的叛逆精神，应为3美分就足够了。爱因斯坦的手写答案如图2所示。

图2爱因斯坦寄回的他对这个几何问题的手写答案。1952年5月16日，“洛杉矶时报”首次转载了这幅图像。

图片中几何示意图下的手写说明为：

也就是：

爱因斯坦的母语德语在回复中有两处小小的体现。“differenz”这个词是德语中的拼写方式，更有意思的是在图中表示圆的字母“K”很可能是德语中的“Kreis”的首字母缩写，后者在德语中是圆圈的意思。图3展示了经过适当缩放后的爱因斯坦所给出的示意图。

图3该图表示两个分别标记为和的圆，其相应的圆心为和，虚线圆和虚直线不是问题中给定的信息，而是被构建出来以帮助解决此问题

 

爱因斯坦解决该问题的逻辑思路如下：

第一步：构造（例如，使用量角器）半径等于两个给定圆半径之差的虚线圆。在当前的案例中，英寸，英寸，所以虚线圆的半径6英寸。

第二步：从小圆的圆心画出一条到虚线圆的切线。圆垂直于切线的半径也必然是虚线圆的半径。因此，可以使用尺规构建圆心到的切线，这条切线必然是等距的，也即平行于圆和的外切线。爱因斯坦使用虚线画出了这条切线。更进一步，我们可以发现这条切线的长度就是我们所需要的问题中待求的长度。

第三步：似乎到了这一步，爱因斯坦并没有打算给出那个小姑娘迫切希望看到的完整的解答方案。再给出更多的信息之前，爱因斯坦使用“This gives the solution.”直截了当的结束了他的回答。

Johanna接下来会怎么做来得到她想要的答案呢？至关重要的是，她有没有抓住爱因斯坦没有提到的关键信息：也就是，这两个圆和必须是相切的两个圆，即在某一个点上吻合。在图4中，我们给出了包含全部已知信息和爱因斯坦给出的构造方法的示意图。现在我们来看看这两个圆的情况。

图4这是爱因斯坦想象中的解决方案，但是却并没有在他的回复中泄露出这一点

 

相切的两个圆呈现出一个由三条直线构成的直角三角形：到（结束于）；到（直角三角形的斜边）；爱因斯坦构造出的虚线。使用毕达哥拉斯定理求解这个直角三角形，那么需要的切线长度可以简化为或者。代入题目中所给出的数字，可知公共外切线的长度为8英寸。

爱因斯坦的象征性的解决方案，只提供了一种隐含的可能解决方法，这在某种程度上似乎与预期接受者的假设基础知识至少在数学上是不对称的（毕竟对方还是个孩子啊！）。他的解决方法既没有引用提供的数字，也没有指出为构造的三角形应用毕达哥拉斯定理。此外，他也没有纳入题目中所给出的两圆外切的约束条件，即使这些信息是解决方案所必需的。爱因斯坦帮助小女孩的行为从感情上讲是值得称颂的，但是这并不意味着有必要写这样一封信回复给一个尚且缺乏基础知识准备的高中生。

• 后续媒体报道

鉴于她父母的关系（毕竟是混圈的），新闻媒体的记者们很快了解到爱因斯坦的答复，并且情切希望知道Johanna解决这个几何难题的详细经历。由此产生的大多数报道和讲述的故事都集中在爱因斯坦的意愿上，毕竟当时爱因斯坦已经是这个世界上最重要的科学家，却愿意和一个高中小女孩一起解决她所遇到的几何上的麻烦。

洛杉矶时报和纽约时报都在1952年5月16日的头版报道这个故事。纽约时报四舍五入了Johanna的年龄，标题为“Einstein sends QED to problem of schoolgirl, 15”（Q.E.D, Quod Erat Demonstrandum，译作证明完毕）。这篇报道是以这样的断言开头的，爱因斯坦“tooktime out from investigating the mysteries of the universe.”，即从他调查宇宙的奥秘中抽出时间。洛杉矶时报则是以这样的标题起头的“Stuckwith geometry, girl turns to Einstein”，即受几何难题困扰的小女孩选择向爱因斯坦求助。这个故事在当日报纸的第六版刊登了上述的爱因斯坦给出的几何示意图。Johanna的故事甚至成为了澳大利亚“悉尼先驱晨报”的头条新闻，当时的标题为“Dr. Einstein solves a geometry problem.”，即爱因斯坦解决了一个几何问题，可谓是简洁有力、直截了当。基于互联网的搜索结果表明，仅仅在美国，至少有82家报纸给出了这个故事的不同版本。用今天的术语来说，Johanna的故事在当时很火。

故事发生的第二天，新闻媒体就给出了对爱因斯坦或者Johanna不那么乐观的新看法。5月17日（次日），“洛杉矶时报”给出的故事题目为“Einsteinflunks out as geometry teacher.”，即爱因斯坦是个不及格的几何老师。通过这篇文章透漏的信息，我们了解到纵然Johanna非常高兴能够收到爱因斯坦的回复，但是她始终没有弄明白隐藏在爱因斯坦“象形文字”中的含义。同一天，斯波坎发言人评论时报刊登了一篇题为“Einstein helped her, but not enough”，即爱因斯坦帮助了Johanna，但是这还不够的文章，并配了一张Johanna的图片（左下图）。图中Johanna坐在一张桌子后面，手里展示着来自爱因斯坦的回复，桌子上放着一个活页文件夹。另外一个广为流传的图片（右下图）则清楚的表明了Johanna对爱因斯坦所给出答案的困惑。当试图在小黑板上重现解决过程时，Johanna将爱因斯坦手写的符号误认为平方根符号，这就产生了无关的也没有意义数学等式。

图5对于爱因斯坦的解答，Johanna显得既兴奋又困惑，正如世界各地的报纸上所刊登的照片表明的那样

令人惊讶的是，一个洛杉矶的牙医很快成为这个传奇故事的一部分。在阅读了“洛杉矶时报”的正刊和下午的小报之后，对业余数学非常感兴趣的Leon Benkoff跳上了战场。Benkoff归纳说，爱因斯坦的答案中遗漏了某些东西。引用他的话说就是“好吧，我看了报纸上明信片的草图，爱因斯坦也不是对的。他回答了另外一个不同的问题，也就是如何构建一个圆的切线，但需要解答的问题是如何计算这条切线的长度。”

Benkoff打电话给“镜报”，并且指出了其中的错误。报社的编辑们对此持怀疑态度。但是当记者来到Benkoff的家中查看他的证件时，觉得足以让他登上“镜报”次日的头版。实际上，“镜报”第二天给出的标题是“Einstein ‘fails’ in math, but still has Nobel Prize.”，即爱因斯坦虽然在数学上犯了错误，但是依然能够获得诺贝尔奖。因为Benkoff和这件事相关，所以在他的城市，Benkoff又被称为纠正了爱因斯坦的人。

从第二天的报道中可以看出，明显Johanna最终意识到了她需要一个更普通的方法来解决这个困扰她的几何难题，事实上，她的非名人数学老师在信件到达的前一天就已经向整个班级解释了这个几何问题。尽管有世界上最著名的科学家的帮助，她还是没有找到一个天才的解决方案，来给所有人留下深刻印象。

更糟糕的是Johanna的老师和校长都对她的公开声明不满意，也就是Johanna在信中说道的“Einstein was ‘the only person we know of who could supply us with the answer.’”，即爱因斯坦是我们已知唯一能解决这个问题的人。“纽约时报”后续的文章指出，Johanna被当时的学校当局斥责不应该给爱因斯坦写信。校长Helen Temple甚至用指手画脚的意味来表明爱因斯坦不应该插手Johanna的问题。她说道“Great scientists should be bothered only with great problems.”，即伟大的科学家只要关心那些真正的难题就够了。

没有证据表明爱因斯坦本人的感受，他拒绝对这场喧嚣进行评论。

爱因斯坦在1921年因为解释了光电效应获得了诺贝尔物理奖，在1999年12月26日被美国《时代周刊》评选为“世纪伟人”，毫无疑问爱因斯坦因为在物理学多个领域的开创性工作而被认为是自伽利略、牛顿以来最伟大的科学家。

爱因斯坦在生前身后都留下了许多使人印象深刻的故事，你还知道爱因斯坦的那些故事呢？留言告诉我们。

本文翻译康康哥哥！

编辑：Gemini

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