我们通过模拟随机漫步来说明如何运用数组运算。先来看一个简单的随机漫步的例子:从0开始,步长1和-1出现的概率相等。我们通过内置的random模块以纯Python的方式实现1000步的随机漫步:
import random
position=0
walk=[position]
steps=1000
for i in range(steps):
step=1 if random.randint(0,1) else -1
position+=step
walk.append(position)
print(walk)
不难看出,这其实就是随机漫步中各步的累计和,可以用一个数组运算来实现。因此,我用np.random模块一次性随机产生1000个“掷硬币”结果(即两个数中任选一个),将其分别设置为1或-1,然后计算累计和:
import numpy as np
nsteps=1000
draws=np.random.randint(0,2,size=nsteps)
steps=np.where(draws>0,1,-1)
walk=steps.cumsum()
print(walk)
output
[ -1 -2 -1 0 1 0 1 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 4
5 6 5 4 3 4 5 4 5 6 7 6 5 6 7 8 9 10
9 8 9 8 9 10 11 12 11 10 9 8 9 8 7 8 9 8
. . .
-11 -10 -11 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -8 -7 -8 -7 -6 -7 -6 -5 -6
-7 -8 -7 -8 -7 -6 -7 -6 -7 -8]
有了这些数据之后,我们就可以做一些统计工作了,比如求取最大值和最小值:
In [219]: walk.min()
Out[219]: -3
In [220]: walk.max()
Out[220]: 31
现在来看一个复杂点的统计任务——首次穿越时间,即随机漫步过程中第一次到达某个特定值的时间。假设我们想要知道本次随机漫步需要多久才能距离初始0点至少10步远(任一方向均可)。np.abs(walk)>=10可以得到一个布尔型数组,它表示的是距离是否达到或超过10,而我们想要知道的是第一个10或-10的索引。可以用argmax来解决这个问题,它返回的是该布尔型数组第一个最大值的索引(True就是最大值):
In [221]: (np.abs(walk) >= 10).argmax()
Out[221]: 37
注意,这里使用argmax并不是很高效,因为它无论如何都会对数组进行完全扫描。在本例中,只要发现了一个True,那我们就知道它是个最大值了。
一次模拟多个随机漫步
如果你希望模拟多个随机漫步过程(比如5000个),只需对上面的代码做一点点修改即可生成所有的随机漫步过程。只要给numpy.random的函数传入一个二元元组就可以产生一个二维数组,然后我们就可以一次性计算5000个随机漫步过程(一行一个)的累计和了:
import numpy as np
nsteps=1000
nwalks=5000
draws=np.random.randint(0,2,size=(nwalks,nsteps))#5000*1000的数组
steps=np.where(draws>0,1,-1)
walk=steps.cumsum(1)#横轴
print(walk)
output:
[[ 1 2 1 ... 30 29 28]
[ -1 0 1 ... 20 21 20]
[ 1 0 1 ... -64 -63 -62]
...
[ -1 -2 -1 ... 12 13 12]
[ 1 2 1 ... 30 29 30]
[ 1 0 1 ... 6 7 6]]
现在,我们来计算所有随机漫步过程的最大值和最小值:
In [228]: walks.max()
Out[228]: 138
In [229]: walks.min()
Out[229]: -133
得到这些数据之后,我们来计算30或-30的最小穿越时间。这里得要稍微动一下脑筋,因为不是5000个过程都到达了30。我们可以用any方法来对此进行检查:
In [230]: hits30 = (np.abs(walks) >= 30).any(1)
In [231]: hits30
Out[231]: array([False, True, False, ..., False, True, False], dtype=bool)
In [232]: hits30.sum() # 到达30或-30的数量
Out[232]: 3410
然后我们利用这个布尔型数组选出那些穿越了30(绝对值)的随机漫步(行),并调用argmax在轴1上获取穿越时间:
In [233]: crossing_times = (np.abs(walks[hits30]) >= 30).argmax(1)
In [234]: crossing_times.mean()
Out[234]: 498.88973607038122
请尝试用其他分布方式得到漫步数据。只需使用不同的随机数生成函数即可,如normal用于生成指定均值和标准差的正态分布数据。
import numpy as np
nwalks=5000
nsteps=1000
steps=np.random.normal(loc=0,scale=0.25,size=(nwalks,nsteps))
walks=steps.cumsum(1)
hit20=(np.abs(walks)>=20).any(1)
crossing_times=(np.abs(walks[hit20])>=20).argmax(1)
print(walks.max(1))
print(walks.max())
print(crossing_times)