周期方波信号的级数分解

根据傅里叶级数的定义我们知道：

对于任意一个周期为的周期信号，都可以求出它在三角函数集中各函数中的分量，从而可将在区间内表示为三角函数集中各函数的加权和。即:

其中：

借助Matlab编写M文件，以方波信号为例，选取不同的级数项数进行合成，观察与原方波的逼近情况。

源码如下：

%该m文件用于绘制方波信号及其傅立叶级数谐波叠加
clc;clear;close all;
syms x;		 %定义符号变量x，用于求解an、bn
A = input('请输入方波信号的幅度:');
T = input('请输入方波信号的周期:');
PW = input('请输入方波信号的脉宽:');
c = input('请问您要显示几个周期的方波:');
m = input('请问您需要几次谐波叠加:');
index = 1;		 %定义方波信号下标
sw = ones(1,c*T*100+1);		 %预定义方波信号，可提高Matlab运行速率
for  N = -c/2:c/2-1		 %遍历c个周期
%绘图过程中舍弃重复部分
     if  N==-c/2
         i = 0;
     else
         i = 0.01;
     end
%一个周期内判断何时为幅度为A，何时为0
     for  t = N*T+i:0.01:(T+N*T)
         if((t>=(T-PW)/2 + N*T)&&(t<=((T+PW)/2 + N*T)))
             sw(index) = A;
             index = index + 1;
         else
             sw(index) = 0;
             index = index + 1;
         end
     end
 end
t = -c*T/2:0.01:c*T/2;
plot(t,sw,'LineWidth',2);		 %绘制方波信号
xlabel('t');ylabel('幅度');title(['方波信号及其傅立叶级数' num2str(m) '次谐波叠加']);
hold on;
%以下为傅立叶级数展开部分
w = 2*pi/T;
%预定义an、bn
an = ones(1,m);
bn = ones(1,m);
sum = 0;
a0 = 2/T*A*PW;
for  n = 1:m
%根据周期的奇偶选择积分区间
    if (mod(c,2)==1)        
        an(n) = 2/T*double(int(A*cos(n*w*x),-PW/2,PW/2));
        bn(n) = 2/T*double(int(A*sin(n*w*x),PW/2,PW/2));
    else
        an(n) = 2/T*double(int(A*cos(n*w*x),(T-PW)/2,(T+PW)/2));
        bn(n) = 2/T*double(int(A*sin(n*w*x),(T-PW)/2,(T+PW)/2));
    end
    ft = a0/2 + an(n)*cos(n*w*t) + bn(n)*sin(n*w*t);
    %避免重复添加a0
    if  n==1
        sum = sum + ft;
    else
        sum = sum + ft - a0/2;
    end
end
plot(t,sum,'r','LineWidth',2);      %绘制m次谐波叠加后图像
legend('方波信号',[num2str(m) '次谐波叠加']);

在命令窗口输入对应参数：幅度5，周期4，脉宽2，显示5个周期方波，3次谐波叠加。运行该M文件得结果如下：

将叠加次数换为9次，得如下结果：

再将叠加次数换为15次，得如下结果：

对比以上三幅图，可以得到以下结论：

周期信号（本实验中为方波信号）选取有限次傅里叶级数进行叠加。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%（吉布斯效应）。