数学史上最重要的女性：埃米·诺特

数学史上最重要的女性：埃米·诺特（转）
文/赛先生

编者按

守恒定律（像能量守恒、动量守恒）是人类理解自然的精华。它反映了自然的美和理性。但守恒定律是从什么地方来的？它的起源是什么？这是物理学中非常基本的问题。这一问题有一个非常漂亮的答案：所有守恒定律，都来自于物理理论中的对称性。这就是有名的诺特定理。很多学物理的人都学过这个定理。但是有很多人不知道诺特是一个女数学家。

诺特是一个伟大的数学家，她是现代抽象代数（见今日第二篇文章）的奠基人之一。作为一个早期的女数学家，她获得博士学位以后，在几个大学教了十几年的书，但不能拿工资。后来拿到一个教授，还要注明是非终身的和权益受限的教授。今年4月14日是诺特逝世81周年的日子。我们在此纪念这位应当很有名的数学家。

——文小刚



我们之所以能够理解世界，是因为世界上许多事情是可以预测的。比如，我们投出一个球，就会知道它只能落下来，而不能飞上天。如果我们多次从同样的高度让球自由下落，也能预知接下来的事情——球每次都会以同样的速度撞击地面，然后反弹到同一高度。这种可预知的重复性正是物理学具有现实意义的重要原因。

投球实验结果的重复性可以用能量守恒定律来解释。不过，这种重复性还可以有另外一个解释——球每一次下落时，地球重力都是相同的，因此球的运动状态是重复不变的。假如每一次球下落时，重力都有不同的变化，我们就无法预测球下落后的情况了。这反映了一个深刻的物理学规律——物理学的守恒定律总是与对称性一一对应。这个定律一般人不好理解，简单说来就是，空间平移，动量守恒；转动不变，角动量守恒；时间平移，能量守恒。这一重要规律被称为诺特定理，物理学家将其视为“数学中的勾股定理”，而其发现者却是一位名叫埃米·诺特（Emmy Noether，1882.3.23-1935.4.14）的女性数学家。

隐姓埋名的大科学家很多，但很少有人比得上埃米·诺特这般默默无闻及与世无争。作为20世纪最伟大的数学家，诺特本人却几乎完全不为人所知。不仅普通大众如此，许多理科学生亦是如此。美国费城著名的德雷克塞尔大学（非常重视女性教育的私立大学）就曾对物理学院的一些学生和老师做了名为“诺特问卷”的调查，结果很少有人能够准确说出她是谁，以及她为什么重要。

对于普通大众，我们很难非常深入地解释埃米·诺特所做的重要贡献，因为如果想真正了解她所具有的革命性，你很有可能需要获得数学博士学位才行。但是，我们可以看一下科学界对她所作的评价，就可了解她了。

按照爱因斯坦的话来说：“埃米·诺特是数学界的雅典娜，如果没有她，现代数学和它的教学将会是完全不同的。”在爱因斯坦眼中，“埃米·诺特是数学史上最重要的女性”，而她同时代的数学家则倾向于认为此评价中的“女性”二字应该去掉。埃米·诺特一生致力于代数研究，她的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要的影响，数学界称她为“代数女皇”。她完全重写了许多关于数学的概念，以至于在数学不同的领域里都能找到以“诺特”命名的理论。

埃米·诺特不仅仅是现代数学的奠基者，也是物理学中的革命家。她给出的诺特定理把两个物理学的支柱概念——“对称性”和“普遍守恒定律”联系在一起。许多物理学家认为诺特定理可以跟爱因斯坦的相对论并驾齐驱。直到今天，诺特定理仍然指导着当今物理学的许多先锋研究，比如对希格斯玻色子的寻找，比如黑洞的研究。而在天文物理中，月球的一个陨石以及太阳系小行星带中的一颗小行星也以埃米·诺特的名字命名。

作为一个在数学和物理学中取得如此非凡成就的女性，埃米·诺特的数学道路起初却并非一帆风顺。

1882年，在德国的埃朗根市，埃米·诺特出生于一个富足的犹太人家庭，她的母亲是犹太商人的女儿，父亲是埃朗根大学的数学教授。小时候，埃米·诺特并没有显示出特别的数学天赋，她是从钢琴、舞蹈、英语和法语开始学习的——世俗认为这些科目更适合女孩。18岁高中毕业时，由于具备女性出色的语言才能，她毫不费力地考取了语言教师的资格证书，马上就可以在学校教书了。她的家庭非常高兴，因为在当时，对一个像她这样的女孩来说，这已经是比较理想的人生之路了。然而，由于长期受到父亲的影响，埃米·诺特对数学有着浓厚的兴趣，她希望遵从自己的意志，到大学去念数学。幸运的是，她得到了父母的支持。

对诺特来说，念大学的这条道路并不好走。当时的德国不允许女性进入大学学习，德国的大学只允许女性在征得教师同意的情况下参加旁听，当然还得缴纳听课费，而如果想要参加考试并取得文凭，则要经过学校领导的特别批准。

但诺特克服种种困难，花了两年的代价，终于获准在埃朗根大学旁听，第二年，她被校方批准参加入学注册考试，很快就以优异的成绩通过了考试，成为正式的大学生。按当时的惯例，大学新生需要在另一所大学学习一年。父亲推荐她前往对女性入学更为开明的哥廷根大学就读。这时她有幸直接听到了大卫·希尔伯特、菲利克斯·克莱因等著名数学家的课程。

1904年，埃米·诺特又回到了埃朗根大学，成为数学系47名学生中唯一的女生。周围的老师和同学，有些对她比较佩服和尊重，而出于性别的原因，也有些人对她持有偏见，这使她无时无刻不感受到巨大的精神压力。于是，她把多数时间都用于读书和思考，当其他同学外出聚会或者游玩的时候她仍然伏案苦读，她所做的笔记和用掉的草稿纸要比别人多上好几倍。就这样，一本本抽象枯燥的数学书籍被她逐一消化吸收，这为她将来的数学生涯下了坚实的基础。

这一时期，数学研究的中心课题之一是“不变量”。擅长代数不变量理论的数学家保罗·哥尔丹正在埃朗根大学执教，他发现埃米·诺特不仅聪颖而且好学，于是引导她走上了研究探索的道路。

在哥尔丹的悉心点拨下，在短短的两年时间里诺特就取得了重大的研究成果。她对一类重要的不变量的体系结构给予了详尽的刻画，以此为题完成了博士毕业论文《三元双二次型不变量的完全系》，并于当年年底通过了论文答辩。1908年，埃尔朗根大学向埃米·诺特授予了哲学博士学位，她成为哥尔丹数学生涯中指导过的唯一一位博士。

埃米·诺特并没有停止探索的脚步，在此后的数年时间里，她继续研究不变量理论，并开始研究有理函数体。到了1915年，她已经发表了《有理函数体和系》、《有限不变量的有限性定理》、《任意多基本形式系统的不变量的整有理表示》等多篇重要论文，证明了不变量理论中的许多基本定理，还解决了大卫·希尔伯特曾经提出的数学难题。

这引起了希尔伯特和克莱因的注意，他们认为，埃米·诺特的研究成果对于从数学角度研究爱因斯坦的广义相对论大有帮助。在他俩的协助下，埃米·诺特于1916年重返哥廷根大学。不过，这次她不再是以学生的身份来求学，而是准备以教师的身份来工作。在这样一个名家汇集、人才济济的地方，埃米·诺特的学术生涯即将迎来重大的转折。

1915年，爱因斯坦发表了他的广义相对论，而哥廷根大学的数学系对广义相对论的感觉却是“茫然不知所云”。埃米·诺特开始应用她的不变量研究来剖析错综复杂的广义相对论，这一工作激励着埃米·诺特，使她构想出了属于自己的理论，这也就是本文开端所提到的诺特定理。

这条革命性的理论表述如下：不论在自然界的什么地方发现了某种对称性、某种可预见性，你将发现对称平移必然会产生与其一致的守恒量——动量、电荷、能量等等。举一个最简单的例子，在日常生活中，诺特定理可以告诉我们：骑自行车不会摔倒。如果一个自行车轮呈现放射状对称，也就是说如果它可以顺着车轴旋转并且各个方向看起来都一样，那么，车轴平移肯定会有对应的守恒量。通过对诺特定律所包含原理和计算的应用，你会明白，这个守恒量是角动量。

可以说，诺特定理是“编织”了整个现代物理的“丝线”。由于现代物理学家们的研究工作非常依赖对称性和守恒定律，不论研究原子尺度的量子物理，还是研究宇宙范围的物质流动，所有现代物理学家都要用到诺特定理，因为诺特定理回答了这样一些问题：如果你在不同的时间或者不同的地方做同一个实验，哪些物理量会改变，而哪些物理量会保持不变；你是否可以旋转你的实验装置；实验中粒子的哪些属性可以改变，而哪些属性又是不可触碰的？

而且，伴随着诺特定理而涌现的一些联系是令人震惊的，比如时间和能量之间的联系。诺特定理表明，时间的对称性与能量守恒定律直接连系在一起，就像本文开头所举的例子，不管你是明天向空中抛掷球还是后天向空中抛掷球，这对球的运行轨迹是没有影响的，它的轨迹是重复的。又比如，数学中的环与物理学中的电荷守恒定律之间的联系。根据电荷守恒定律，“进入”一项实验的电荷总量必须等于从实验结果“出来”的电荷总量，即使粒子的类型变了或者物质粒子与反物质粒子发生了湮灭。诺特定理能够通过环的对称性推导出电荷守恒定律，而且还可以根据环论推导出电磁学的理论，比如电流的产生以及原子结构的变化。

近代物理学家们对诺特定理评价很高，认为它是一种关于宇宙归宿的表述，它揭示了宇宙基本几何与质量和能量活动之间的深层联系。

诺特定理的一系列深刻研究结果为近代物理的发展起到了奠基的作用，不过，埃米·诺特并没有继续深入研究物理学，她转而研究抽象代数，回到了数学的道路上。当埃米·诺特开始研究抽象代数的时候，其实它还只是一门新兴的代数学科，而诺特的工作推动了它的迅速发展，称为现代抽象代数的奠基人。不仅如此，她还建立了自己的数学研究团队，其成员来自世界各地，经她指导，她的团队取得了许多重要成就，使哥廷根大学成为了当时世界数学的中心。

有时，诺特在邮政明信片上与她的同事Ernst Fischer讨论抽象代数，这封载有她数学讨论的明信片上的邮戳时间为1915年4月10日。

如果认为埃米·诺特辉煌的科学成就必然为她带来生活上的一帆风顺，那将是十分错误的。实际上，除了童年时代，埃米·诺特在她的祖国就一直生活在逆境之中。在1916年，埃米·诺特受邀回到哥廷根大学的时候，就因为身为女性而无法获得授课资格。在当时的德国大学里，教师的授课资格必须由学校的全体教授们投票决定，一些头脑顽固的文科教授根本不去考虑埃米·诺特的学术成就和教学能力，而是以性别作为评判其授课资格的前提。尽管数学教授们竭力保荐，但他们的努力均以失败告终。直到1919年，埃米·诺特才正式获得了“非官方讲师”的头衔，但这并没有改变她的经济状况。

当已到而立之年的诺特在数学界站稳脚跟的时候，她的生活还十分拮据。但是，诺特为数学而活，她对自己的财产毫不在意。关于诺特，她既没有留下什么记录来记载自己作为一个女性来面对困难时的感受，也没有记录自己私人的情感生活。她没有结过婚，即使有过爱情，也未对别人讲过。但她并不是一个性情孤僻的人，相反她平易近人，喜欢说笑，所以在照片里总是面带笑容。她从不装腔作势、居高临下，如果兴奋地讲话时，那一头不羁的长发散开的话，她就让其散着。学生们都非常爱戴她，以至于在哥廷根大学，当地人将她忠诚的学生称为“诺特童子军”。

正当埃米·诺特的数学生涯进入全盛时期的时候，德国传来了希特勒上台的消息。作为犹太人，迫于无奈，埃米·诺特在1933年移居美国。她来到了宾夕法尼亚州的布林莫尔女子学院任教，那里距普林斯顿高等研究院很近。从1934年起，埃米·诺特每周去研究院讲一次课。这一时期，她最热衷于领着学生散步。埃米·诺特在布林莫尔的时光是十分愉快的，在这里她终于体会到了仅在童年时代才有拥有过的人际之间的亲善情感。埃米·诺特说，在这里她感到被深切地尊敬，这是她在德国从来没有得到过的。

但不幸的是，快乐的时光并没持续太久，在埃米·诺特来到美国仅18个月之后，她进行了卵巢囊肿手术，几日后突然去世，享年53岁。

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