数论一·Miller-Rabin质数测试
输入
第1行：1个正整数t，表示数字的个数，10≤t≤50
第2..t+1行：每行1个正整数，第i+1行表示正整数a[i]，2≤a[i]≤10^18
输出
第1..t行：每行1个字符串，若a[i]为质数，第i行输出"Yes"，否则输出"No"
3 3 7 9样例输出
Yes Yes No解法提示：
有一种叫做Miller-Rabin质数测试的算法，可以很快的判定一个大数是否是质数。
这种质数算法是基于费马小定理的一个扩展，首先我们要知道什么是费马小定理：
费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。 将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)
也即是说：假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a，然后计算a^(n-1) mod n，如果结果不为1，我们可以100%断定n不是质数。
否则我们再随机选取一个新的数a进行测试。如此反复多次，如果每次结果都是1，我们就假定n是质数。
该测试被称为Fermat测试。需要注意的是：Fermat测试不一定是准确的，有可能出现把合数误判为质数的情况。
Miller和Rabin在Fermat测试上，建立了Miller-Rabin质数测试算法。
与Fermat测试相比，增加了一个二次探测定理：
如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)
如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，另u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。
举个Matrix67 Blog上的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2^170，得到2^170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。
将这两条定理合起来，也就是最常见的Miller-Rabin测试。
但一次MR测试仍然有一定的错误率。为了使我们的结果尽可能的正确，我们需要进行多次MR测试，这样可以把错误率降低。
写成伪代码为：
Miller-Rabin(n): If (n <= 2) Then If (n == 2) Then Return True End If Return False End If If (n mod 2 == 0) Then // n为非2的偶数，直接返回合数 Return False End If // 我们先找到的最小的a^u，再逐步扩大到a^(n-1) u = n - 1; // u表示指数 while (u % 2 == 0) u = u / 2 End While // 提取因子2 For i = 1 .. S // S为设定的测试次数 a = rand_Number(2, n - 1) // 随机获取一个2~n-1的数a x = a^u % n While (u < n) // 依次次检查每一个相邻的 a^u, a^2u, a^4u, ... a^(2^k*u)是否满足二次探测定理 y = x^2 % n If (y == 1 and x != 1 and x != n - 1) // 二次探测定理 // 若y = x^2 ≡ 1(mod n) // 但是 x != 1 且 x != n-1 Return False End If x = y u = u * 2 End While If (x != 1) Then // Fermat测试 Return False End If End For Return True
值得一提的是，Miller-Rabin每次测试失误的概率是1/4；进行S次后，失误的概率是4^(-S)。
这个算法的时间复杂度，每一次单独的MR测试，需要O(log n)的时间。一共要进行S次MR测试，也就是O(Slog n)。
这样就能够在很短的时间内完成质数的测试了。当然如果你还是不放心，可以把S的值设定的更高一点。这样就能够顺利的找到大质数了。
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
//FILE *stream;
int t, S = 10;
LL num, u, a, x, y;
LL rand_Number(LL a, LL b)
{
srand((unsigned)time(NULL));
return rand() % (b - a + 1) + a;
}
LL mod_mul(LL a, LL b, LL n) {
LL res = 0;
while (b) {
if (b & 1) res = (res + a) % n;
a = (a + a) % n;
b >>= 1;
}
return res;
}
LL mod_exp(LL a, LL b, LL n) {
LL res = 1;
while (b) {
if (b & 1) res = mod_mul(res, a, n);
a = mod_mul(a, a, n);
b >>= 1;
}
return res;
}
bool Miller_Rabin(LL n)
{
if (n < 2) return false;
if (n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7 || n == 11) return true;
if (n == 1 || !(n % 2) || !(n % 3) || !(n % 5) || !(n % 7) || !(n % 11)) return false;
// 我们先找到的最小的a^u，再逐步扩大到a^(n-1)
u = n - 1;
while (u % 2 == 0)
u >>= 1;
for (int i = 1; i <= S; ++i)
{
a = rand_Number(2, n - 1);
x = mod_exp(a, u, n);//a^u % n 快速幂取模算法
while (u < n)
{
// 依次次检查每一个相邻的 a^u, a^2u, a^4u, ... a^(2^k*u)是否满足二次探测定理
y = mod_mul(x, x, n);//x * x % n
if (y == 1 && x != 1 && x != n - 1)
return false;
x = y;
u <<= 1;
}
if (x != 1)// Fermat测试
return false;
}
return true;
}
int main()
{
//freopen_s(&stream, "in.txt", "r", stdin);
cin >> t;
while (t--)
{
cin >> num;
if ( Miller_Rabin( num ) )
cout << "Yes" << endl;
else
cout << "No" << endl;
}
//freopen_s(&stream, "CON", "r", stdin);
//system("pause");
return 0;
}