约瑟夫问题四种解法

【背景】

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。 [1]

数组模拟法

首先我们自然能想到的是模拟法，用p模拟一个一个的数数，数到3把p所指的人给杀头，直到杀了39个人之后剩余2人

代码参考如下：

int main()
{
	fill(alive+0,alive+100,1);//alive数组用来记录每个人的死活状态
	int num = 41,cnt = 0;//cnt用来计数达到三个就进行杀头
	int p = 41;//p用来指着当前报数的人的号码
	while(num > 2)
	{
		p++;
		if(p>41) p = 1;
		cnt += alive[p];
		if(cnt == 3) {//杀头
			alive[p] = 0;
			cnt = 0;
			num --;
		}
	}
	
	for(int i = 1; i<=41; i++)//结果就在alive数组里，状态为1的就是幸存者编号
	if(alive[i]==1)cout << i <<" ";

队列模拟法

之上的数组保存法，着当然是一种保存方法，用数组alive[p] 来记录当前第p个人的编号
当然也可以用队列来记录这一个环形，

	q.front();//用来监视当前报数人的编号
	q.pop();//如果达到了第三个，就可弹出
	q.push(q.front()); q.pop();//如果没达到第三个，就可以把队首元素压入到队尾

queue<int> q;
int main()
{
    int cnt=1,f=0;
    for(int i=1;i<=41;i++)
        q.push(i);
    while(q.size()>2)
    {  if(cnt==3)
        {   q.pop();
            cnt=1;}
        else if(cnt!=3)
        {  cnt++;
            q.push(q.front());
            q.pop();}
    }
    cout << q.front() <<" ";
	q.pop();
	cout << q.front();
	 
    return 0;
}

循环链表

话不多说，循环链表的基本操作

#include 
using namespace std;

struct node {
	int num;
	node *next;
};

int main()
{
	node *st,*ed;
	st = new node;//初始化起始结点
	st->next = NULL;
	st->num = 1;
	ed = st;
	for(int i = 2; i<=41; i++)
	{
		node *tmp;//构造链表
		tmp = new node;
		tmp->next =NULL;
		tmp->num = i;
		ed->next = tmp;
		ed = tmp;
	}
	ed->next = st;//首位相连
	node *ptr = ed;
	while(ptr->next->next!=ptr)
	{
		ptr = ptr->next;
		ptr = ptr->next;
		ptr->next = ptr->next->next;
	}
	cout << ptr->num <<" "<< ptr->next->num;
}

静态链表

用一个数组存储，这个人的下一个是谁，这个关系，比如1的下一个是2，2的下一个是3…41的下一个是1

next（下标）	value（值）
1	2
2	3
3	4
4	5
…	…
40	41
41	1

	int next[1000];//这个数组存储的就是链表的指向关系
	for(int i = 1; i<=40; i++)
		next[i] = i+1;
	next[41] = 1;	
	int p = 41;
	while(next[next[p]] != p)
	{
		p = next[p];
		p = next[p];
		
		next[p] = next[next[p]];//通过这一句话就能将下一结点从循环链表中删除。
	}
	cout << p << " " <<next[p];
}