计算机科学和机器学习中的代数、拓扑、微积分和最优化理论

学习math-deep的笔记.
课本来自： https://www.cis.upenn.edu/~jean/math-deep.pdf

好吧，第一章的介绍不知道为啥是空白的。

第二章 群、环、域

在接下来的4章中,会复习一下基本代数结构(群，环，域，向量空间)，并且会着重强调向量空间。

会介绍一些线性代数的基本观念，例如：向量空间、子空间、线性组合、线性无关、基(bases)、商空间、线性映射(linear maps)、矩阵、基的变换、直和、线性形式(linear forms 不知道是什么)、 对偶空间、超平面、线性映射的转置。

2.1 群、子群、陪集

实数集R包含两个操作 $+:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 和 $\ast :\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}(乘法)$并且满足：1. $\mathbb{R}$是 + 下的阿贝尔群，2. $\mathbb{R}-\{0\}={\mathbb{R}}^{\ast }$是* 下的阿贝尔群。现在复习群的定义。

定义2.1 群是一个集合G。其中G包含二元操作 $\cdot :G\times G\to G$ 将G中的每一对元素$a,b\in G$都与一个元素$a\cdot b\in G$关联起来。$\cdot$满足结合律(associative)，有一个恒等元 $e\in G$,并且(对于$\cdot$)G中的每个元素都可逆。即：

$$\begin{gathered} (G1)a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c(结合律); \\ (G2)a\cdot e=e\cdot a=a.(有恒等元) \\ (G3)对任意a\in G,都存在某个a^{-1}\in G使得a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e.(有逆元) \end{gathered}$$

一个群 G 是阿贝尔群(或交换群) 如果：
$$a\cdot b=b\cdot a对所有a,b\in G成立.$$

如果群M 存在操作$\cdot :M\times M\to M$与一个元素 e ，并且仅满足 (G1)和(G2)两个条件，那么M就叫做幺半群(monid)。
例如：自然数集合 $\mathbb{N}=\{0,1,\dots ,n,\dots \}$是一个加法下的(交换)幺半群。当然，它并不是一个群(因为没有包含负数，不满足(G3))。

下面给出几个群的例子：

例 2.1

汗没想到写的这么费劲，有时间再补充吧。
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