计算机科学和机器学习中的代数、拓扑、微积分和最优化理论
学习math-deep的笔记.
课本来自： https://www.cis.upenn.edu/~jean/math-deep.pdf
好吧，第一章的介绍不知道为啥是空白的。
第二章 群、环、域
在接下来的4章中,会复习一下基本代数结构(群，环，域，向量空间)，并且会着重强调向量空间。
会介绍一些线性代数的基本观念，例如：向量空间、子空间、线性组合、线性无关、基(bases)、商空间、线性映射(linear maps)、矩阵、基的变换、直和、线性形式(linear forms 不知道是什么)、 对偶空间、超平面、线性映射的转置。
2.1 群、子群、陪集
实数集R包含两个操作 + : R × R → R +:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} +:R×R→R 和 ∗ : R × R → R ( 乘 法 ) *:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}(乘法) ∗:R×R→R(乘法)并且满足：1. R \mathbb{R} R是 + 下的阿贝尔群，2. R − { 0 } = R ∗ \mathbb{R} - \{0\} = \mathbb{R}^* R−{0}=R∗是* 下的阿贝尔群。现在复习群的定义。
定义2.1 群是一个集合G。其中G包含二元操作 ⋅ : G × G → G \cdot:G\times G \to G ⋅:G×G→G 将G中的每一对元素 a , b ∈ G a,b \in G a,b∈G都与一个元素 a ⋅ b ∈ G a \cdot b \in G a⋅b∈G关联起来。 ⋅ \cdot ⋅满足结合律(associative)，有一个恒等元 e ∈ G e \in G e∈G,并且(对于 ⋅ \cdot ⋅)G中的每个元素都可逆。即：
( G 1 ) a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c ( 结 合 律 ) ; ( G 2 ) a ⋅ e = e ⋅ a = a . ( 有 恒 等 元 ) ( G 3 ) 对 任 意 a ∈ G , 都 存 在 某 个 a − 1 ∈ G 使 得 a ⋅ a − 1 = a − 1 ⋅ a = e . ( 有 逆 元 ) (G1) a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c (结合律);\\ (G2) a \cdot e = e \cdot a = a . (有恒等元) \\ (G3) 对任意 a \in G,都存在某个 a^{-1} \in G 使得 a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e .(有逆元) (G1)a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c(结合律);(G2)a⋅e=e⋅a=a.(有恒等元)(G3)对任意a∈G,都存在某个a−1∈G使得a⋅a−1=a−1⋅a=e.(有逆元)
一个群 G 是阿贝尔群(或交换群) 如果：
a ⋅ b = b ⋅ a 对 所 有 a , b ∈ G 成 立 . a \cdot b = b \cdot a 对所有 a,b \in G 成立. a⋅b=b⋅a对所有a,b∈G成立.
如果群M 存在操作 ⋅ : M × M → M \cdot:M \times M \to M ⋅:M×M→M与一个元素 e ，并且仅满足 (G1)和(G2)两个条件，那么M就叫做幺半群(monid)。
例如：自然数集合 N = { 0 , 1 , … , n , … } \mathbb{N}=\{0,1, \ldots,n,\ldots\} N={0,1,…,n,…}是一个加法下的(交换)幺半群。当然，它并不是一个群(因为没有包含负数，不满足(G3))。
下面给出几个群的例子：
例 2.1
汗没想到写的这么费劲，有时间再补充吧。
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