2015年国际数学奥林匹克（IMO）试题

每题7分，共6题

第一天 2015年7月10日

第1题

我们称平面上一个有限点集 S 是平衡的，如果 S 中任意两个不同的点 A 、 B ，都存在 S 中一点 C ，满足 AC=BC . 我们称 S 是无中心的，如果对 S 中任意三个不同的店 A 、 B 、 C ，都不存在 S 中一点 P ，满足 PA=PB=PC .
(a)证明：对每个整数 n≥3 ，都存在一个由 n 个点组成的平衡点集.
(b)确定所有的整数 n≥3 ，使得存在一个由 n 个点组成的平衡且无中心的点集.

第2题

确定所有三元正整数组 (a,b,c) ，使得

ab−c，bc−a，ca−b

中每个数都是 2 的方幂.
2 的方幂是指形如 2n 的整数，其中 n 是一个非负整数.

第3题

在锐角三角形 ABC 中， AB>AC ，设 Γ 是它的外接圆， H 是它的垂心， F 是由顶点 A 所引高的垂足， M 是边 BC 的中点. Q 是 Γ 上一点，使得 ∠HQA=90∘ ， K 是 Γ 上一点，使得 ∠HKQ=90∘ . 已知点 A 、 B 、 C 、 K 、 Q 互不相同，且按此顺序排列在 Γ 上.
证明：三角形 KQH 的外接圆和三角形 FKM 的外接圆相切.

第二天 2015年7月11日

第4题

在三角形 ABC 中， Ω 是其外接圆， O 是其外心. 以 A 为圆心的一个圆 Γ 与线段 BC 交于两点 D 和 E ，使得点 B 、 D 、 E 、 C 互不相同，并且按此顺序排列在直线 BC 上. 设 F 和 G 是 Γ 和 Ω 的两个交点，并且使点 A 、 F 、 B 、 C 、 G 按此顺序排列在 Ω 上. 设 K 是三角形 BDF 的外接圆和线段 AB 的另一个交点. 设 L 是三角形 CGE 的外接圆和线段 CA 的另一个交点.
假设直线 FK 和 GL 不相同，且相交于点 X .
证明： X 在线段 AO 上.

第5题

设 R 是全体实数的集合. 求所有的函数 f:R→R ，满足对任意实数 x 、 y ，都有

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x).

第6题

整数序列 a1,a2,⋯ 满足下列条件：
(i)对每个整数 j≥1 ，有 1≤aj≤2015 ；
(ii)对任意整数 1≤k<l ，有 k+ak≠l+al .
证明：存在正整数 b 和正整数 N ，使得

∣∣∣∣∑j=m+1n(aj−b)∣∣∣∣≤10072

对所有满足 n>m≥N 的整数 m 和 n 均成立.