2020牛客暑期多校训练营（第一场）J题 Easy Integration

题目链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5666/J

题面

题意

对于给定$n(n\le 10^6)$求${\int }_0^1{\left(x-x^2\right)}^n\mathrm{d}x$，答案取$mod,mod=998244353$

思路

首先题目说答案一定是一个分数，并给定了$mod$，显然要用到逆元

刚开始想着求原函数，结果很傻发现求不出来，求着求着发现和二项展开类似，结果回去反推样例，发现样例1,2,3分别对应的是1/6，1/30，1/140，然后提出一个系数$\frac{1}{n+1}$，发现1/3，1/10，1/35正好满足$ \quad C_{2 n+1}^{n+1}$,然后get答案就是$\frac{1}{(n+1) \cdot C_{2 n+1}^{n+1}}$

下面给出赛后直接推积分的过程：

${\int }_0^1{\left(x-x^2\right)}^{n}dx={\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^{n}dx$

$=\frac{1}{n+1}{\int }_0^1{\left(x^{n+1}\right)}^{\prime }(1-x{)}^{n}dx$

$={x^{n+1}\cdot (1-x{)}^n|}_0^1-{\int }_0^1{x}^{n+1}{\left[(1-x{)}^n\right]}^{\prime }dx$

$=\frac{n{\int }_0^1{x}^{n+1}(1-x{)}^{n-1}dx}{n+1}$

依次类推$\cdots$
$=\frac{n\cdot (n-1)\cdots 1\cdot {\int }_0^1{x}^{2n}dx}{(n+1)\cdot (n+2)\cdots 2n}$

$=\frac{n!}{(n+1)\cdots (2n+1)}$

上下同时乘$n!$得：$\frac{(n!{)}^2}{(2n+1)!}$

又$\because C_{2n+1}^{n+1}=\frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!}$

$\therefore$ 原式$=\frac{1}{(n+1)\cdot C_{2n+1}^{n+1}}$

得到了原式的分式就很简单了，直接输出其逆元，因为有组合数，且$n$达$1e6$，所以用阶乘取模$O(n)$递推组合数即可。

参考代码

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int M = 2e6 + 10;
const int mod = 998244353;
LL fac[M];
LL pow_mod(LL a, LL b) {
  LL ans = 1;
  while (b) {
    if (b & 1)
      ans = (ans * a) % mod;
    a = (a * a) % mod;
    b >>= 1;
  }
  return ans;
}
LL inv(LL a) { return pow_mod(a, mod - 2); }
void init() {
  LL p = mod;
  fac[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= M; i++) {
    fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
  }
}
LL C(LL n, LL m) {
  return fac[m] * pow_mod(fac[n], mod - 2) % mod * pow_mod(fac[m - n], mod - 2) % mod;
}
void solve() {
  LL n;
  init();
  while (~scanf("%lld", &n)) {
    LL ans = 1;
    ans = (n+1) * C(n + 1, n * 2 + 1) % mod;
    printf("%lld\n", inv(ans));
  }
}
signed main() {
  solve();
  return 0;
}