微积分基本定理

定理1

设函数 f(x) 在 [a,b] 上可积，作函数
F(x)=∫xaf(t)dt,
则
(1) F(x) 是 [a,b] 上的连续函数。
(2) 若 f(x) 在 [a,b] 上连续， 则 F(x) 在 [a,b] 上可微，且有
F′(x)=f(x)

证明：

(1) 由积分第一中值定理，
∀x∈[a,b],
F(x+Δx)−F(x)=∫x+Δxxf(t)dt
={ηΔx,η∈[inf{f(x):x∈[a,b]},sup{f(x):x∈[a,b]}],f(x+θΔx)Δx,θ∈(0,1),f(x)在[a,b]上连续,
→0,Δx→0,
因此 F(x) 在 [a,b] 上连续。
(2) 若 f(x) 在 [a,b] 上连续， 则
limΔx→0F(x+Δx)−F(x)Δx=limΔx→0f(x+θΔx)=f(x),

定理2 微积分基本定理

设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续， F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)
参考微积分基本定理的改进。

定理3 分部积分法

设函数 u(x),v(x) 在 [a,b] 上有连续导数，则
∫bau(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)u′(x)dx
上式也能写成下式：
∫bau(x)dv(x)=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)du(x)

证明：

函数 u(x),v(x) 在 [a,b] 上有连续导数，因此
[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),x∈[a,b],
因此 [u(x)v(x)]′,u′(x)v(x),u(x)v′(x) 在 [a,b] 上连续，
故可积，由微积分基本定理的改进和定积分的线性性质，
[u(x)v(x)]ba=∫ba[u(x)v(x)]′dx=∫bau′(x)v(x)dx+∫bau(x)v′(x)dx
⇒∫bau(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)u′(x)dx

定理3 分部积分法的改进

设函数 u(x),v(x) 在 [a,b] 上可导，且导函数 u′(x),v′(x) 在 [a,b] 上可积，则
∫bau(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)u′(x)dx
上式也能写成下式：
∫bau(x)dv(x)=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)du(x)

证明：

函数 u(x),v(x) 在 [a,b] 上有可导，因此
[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),x∈[a,b],
u′(x),v′(x) 在 [a,b] 上可积，
因此 [u(x)v(x)]′,u′(x)v(x),u(x)v′(x) 在 [a,b] 上可积，
由微积分基本定理的改进和定积分的线性性质，
[u(x)v(x)]ba=∫ba[u(x)v(x)]′dx=∫bau′(x)v(x)dx+∫bau(x)v′(x)dx
⇒∫bau(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)u′(x)dx

定理4 换元积分法

设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续， φ(t) 在 [α,β] （或 [β,α] ） 上有连续导数，
其值域包含于 [a,b] ，且满足 φ(α)=a 和 φ(β)=b ，则
∫baf(x)dx=∫βαf(φ(t))φ′(t)dt

证明：

f(x) 在 [a,b] 上连续，则 F(x)=∫xaf(t)dt,x∈[a,b], 在 [a,b] 上连续可导，
[F(φ(t))]′=F′(φ(t))φ′(t)=f(φ(t))φ′(t),t∈[α,β],
⇒∫βαf(φ(t))φ′(t)dt=F(φ(t))|βα=F(b)−F(a)=∫baf(x)dx

定理5

设函数 f(x) 在 [−a,a] 上可积，
若 f(x) 是偶函数，则成立
∫a−af(x)dx=2∫a0f(x)dx
若 f(x) 是奇函数，则成立
∫a−af(x)dx=0

证明：

令 I=∫0−af(x)dx, 则，
∀ε>0,∃δ>0 ， 使得对于任意一种 [−a,0] 上的划分 P 和任意 n 个点 {ξi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n} ，只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ, 便有 ∣∣∑ni=1f(ξi)Δxi−I∣∣<ε ，
对于任意一种 [0,a] 上的划分 P:0=x0<⋯<xn=a,n∈N,n≥1, 和任意 n 个点 {ξi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n} ，
取 [−a,0] 上的划分 P′={x′i=−xn−i,∀i∈N,0≤i≤n}, 和 n 个点 {ηi=−ξn+1−i:i∈N,1≤i≤n}, 与之相对应，
则 ηi=−ξn+1−i∈[−xn+1−i,−xn−i]=[x′i−1,x′i],∀i∈N,0≤i≤n,
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ,
则 λ′=max{Δx′i:i∈N,1≤i≤n}
=max{−xn−i−(−xn−i+1):i∈N,1≤i≤n}
=max{Δxn−i+1:i∈N,1≤i≤n}
=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ,
因此有 ∣∣∑ni=1f(ηi)Δx′i−I∣∣<ε,
且 ∑ni=1f(ηi)Δx′i
=∑ni=1f(ηn+1−i)Δx′n+1−i
=∑ni=1f(ηn+1−i)(x′n+1−i−x′n−i)
=∑ni=1f(−ξi)[−xi−1−(−xi)]
=∑ni=1f(−ξi)(xi−xi−1)
=∑ni=1f(−ξi)Δxi
于是 ∣∣∑ni=1f(−ξi)Δxi−I∣∣<ε,

(1) f(x) 是偶函数， 则 f(−x)=f(x),∀x∈[−a,a],
因此 ∣∣∑ni=1f(ξi)Δxi−I∣∣
=∣∣∑ni=1f(−ξi)Δxi−I∣∣<ε,
因此 ∫a0f(x)dx=I,
因此 ∫a−af(x)dx=∫0−af(x)dx+∫a0f(x)dx=2I=2∫a0f(x)dx
(2) f(x) 是奇函数， 则 f(−x)=−f(x),∀x∈[−a,a],
因此 =∣∣∑ni=1f(ξi)Δxi−(−I)∣∣
=∣∣−∑ni=1f(−ξi)Δxi+I∣∣
=∣∣∑ni=1f(−ξi)Δxi−I∣∣<ε,
因此 ∫a0f(x)dx=−I,
因此 ∫a−af(x)dx=∫0−af(x)dx+∫a0f(x)dx=2I=0

定理6

设 f(x) 是以 T 为周期的可积函数，则对任意 a ，
∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx

证明：

f(x) 以 T 为周期， 因此 f(x+T)=f(x),∀x∈R,
∀a,b∈R, 令 I=∫baf(x)dx, 则，
∀ε>0,∃δ>0 ， 使得对于任意一种 [a,b] 上的划分 P 和任意 n 个点 {ξi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n} ，只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ, 便有 ∣∣∑ni=1f(ξi)Δxi−I∣∣<ε ，
对于任意一种 [a+T,b+T] 上的划分 P:a+T=x0<⋯<xn=b+T,n∈N,n≥1, 和任意 n 个点 {ξi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n} ，
取 [a,b] 上的划分 P′={x′i=xi−T,∀i∈N,0≤i≤n}, 和 n 个点 {ηi=ξi−T:i∈N,1≤i≤n}, 与之相对应，
则 ηi=ξi−T∈[xi−1−T,xi−T]=[x′i−1,x′i],∀i∈N,0≤i≤n,
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ,
则 λ′=max{Δx′i:i∈N,1≤i≤n}
=max{xi−T−(xi−1−T):i∈N,1≤i≤n}
=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ,
因此有 ∣∣∑ni=1f(ηi)Δx′i−I∣∣<ε,
且 ∑ni=1f(ηi)Δx′i
=∑ni=1f(ηi)(x′i−x′i−1)
=∑ni=1f(ξi−T)[xi−T−(xi−1−T)]
=∑ni=1f(ξi)(xi−xi−1)
=∑ni=1f(ξi)Δxi
于是 ∣∣∑ni=1f(ξi)Δxi−I∣∣<ε,
因此 ∫b+Ta+Tf(x)dx=I=∫baf(x)dx,
因此 ∫a+Taf(x)dx=∫baf(x)dx+∫b+Tbf(x)dx+∫a+Tb+Tf(x)dx=∫b+Tbf(x)dx
令 b=0, 得
∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx